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1、上海市实验学校2016学年度高三第二次月考试卷(2016.10)填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。1已知全集,且,则实数_。32若,则关于的不等式的解集是_。3已知幂函数过点,则的反函数为_。4设,若是的充分条件,则的取值范围是 。5在等差数列中,若,则=_6已知,则_。07在平面直角坐标系中,以轴为始边作锐角,它的终边与单位圆相交于点,且点的横坐标为,则的值为_。-8对于集合,定义函数;对于两个集合、,定义集合。已知,则用列举法写出集合的结果为_。9要得到函数的图像,可以由函数的图像向左平移得到,则平
2、移的最短长度为_。10已知分别为三个内角的对边,且,则面积的最大值为_。11设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,若对一切成立,则的取值范围为_。12求“方程的解”有如下解题思路:设函数,则函数在上单调递减,且,所以原方程有唯一解。类比上述解题思路,方程的解集为_。13已知函数有且仅有三个零点,且它们成等差数列,则实数a的取值集合为_。14已知函数没有零点,则的取值范围是_。二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分。15若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是
3、( D )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形16下列四类函数中,具有性质“对任意的,函数满足”的是( ) 幂函数 对数函数 指数函数 余弦函数17已知函数,若存在,使成立,则以下对实数的描述正确的是( ) 18给出下列六个命题:(1)若,则函数的图像关于直线对称。(2)与的图像关于直线对称。(3)的反函数与是相同的函数。(4)无最大值也无最小值。(5)的周期为。(6)有对称轴两条,对称中心三个。则正确命题的个数是 ( A ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
4、内写出必要的步骤。19(本题满分12分)第1小题5分,第2小题7分等差数列中,.()求的通项公式;() 设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如0.9=0,2.6=2.试题解析:()设数列的公差为d,由题意有,解得,所以的通项公式为.()由()知,当1,2,3时,;当4,5时,;当6,7,8时,;当9,10时,所以数列的前10项和为.20(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分。设全集,关于的不等式()的解集为。(1)求集合;(2)设集合,若中有且只有三个元素,求实数的取值范围。解:(1)由可以得到:。当时,解集是;当时,解集是。(2)(i)当时,不合
5、题意;(ii)当时, 。 因, 由,得,即,所以。当有3个元素时,就满足可以得到。21(本题满分14分)第1小题6分,第2小题8分已知函数(1) 求函数f(x)的最小正周期;(2) 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移a(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2 求函数g(x)的解析式; 证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0解:(1) ,4分函数f(x)的最小正周期T=2p;6分(2) 将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象,再向下平移a(a0)个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a的图象,又已知
6、函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13,g(x)=10sinx-8;9分 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x0-80,即,由知,存在,使得,由正弦函数的性质可知,当时,均有,y=sinx的周期为2p,当时,均有,12分对任意的整数k, 来源:学+科+网Z+X+X+K对任意的正整数k,都存在正整数,使得,来源:学*科*网Z*X*X*K亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)014分注:也可直接如下证明 由,解得12分对任意的整数k,对任意的正整数k,都存在正整数,使得,亦即存在
7、无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)014分22(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分。设函数,函数,其中为常数,且。令函数为函数与的积。(1)求函数的表达式,并求其定义域; (2)当时,求函数的值域;(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰为?若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合;若不存在,试说明理由。解:(1)由条件,函数,因为的定义域为,故的定义域为。(2)令,则有,得。当时,。所以时,递减,于是函数单调递增。所以,。(3)假设存在这样的自然数,满足条件。令,代换可得。因为的定义域为,则有。要满足值域为,则要满足。由于当且仅当等号成立
8、,此时恰好取得最大值,则由,故。又在区间上是减函数,在区间上是增函数,由于,。则有,由于,得。故满足条件的所有自然数的集合为。23(本题满分18分)第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分已知函数,如果存在给定的实数对,使得恒成立,则称为“函数”(1) 判断函数是否是“函数”;(2) 若是一个“函数”,求出所有满足条件的有序实数对;(3) 若定义域为R的函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当x0,1时,的值域为1,2,求当x-2016,2016时函数的值域解:(1) 若是“函数”,则存在常数,使得即时,对恒成立而最多有两个解,矛盾,因此不是“函数”2分若是“函数”
9、,则存在常数使得,即存在常数对满足条件因此是“函数”;4分(2) 是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,当时,不是常数,当时,有恒成立即恒成立则,8分当,时,成立因此满足是一个“函数”,10分(3) 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,于是,x1,2时,2-x0,1,f(2-x)1,2,x0,2时,12分,x2,4时,f(x)4,16,x4,6时,f(x)16,64,以此类推可知:x2k,2k+2时,f(x)22k,22k+2,x2014,2016时,f(x)22014,22016,因此,15分,综上可知当时函数的值域为18分(2) 另解:恒成立即(b-1)cos2x+(b+1)cos2a=0恒成立,即cos2a=0,b=1,