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1、第三讲一 A级基础巩固一、选择题1. 函数y2的最大值是(B)A. B. C. 3D. 5解析根据柯西不等式，知y12. 2. 已知a、bR，且ab1，则()2的最大值是(D)A. 2B. C. 6D. 12解析()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12. 3. 已知p、qR，且p2q22，则pq的最大值为(A)A. 2B. 8 C. D. 4解析(pq)22(p2q2)，又p、qR，0pq2，pq的最大值为2. 4. 设a、b、c、d、m、n都是正实数，P，Q，则P、Q间的大小关系为(B)A. PQD. PQ解析由柯西不等式得，PQ，PQ. 5. 已知3xy1
2、0，则x2y2的最小值为(C)A. B. 1 C. 10D. 1006. 已知x、y0，且xy1，则(1)(1)的最小值为(A)A. 4B. 2 C. 1D. 解析(1)(1)12()212()2(11)2(1)2224，当且仅当xy1时等号成立. 二、填空题7. 若ab1，则22的最小值是_. 8. 设实数x、y满足3x22y26，则P2xy的最大值是_. 9. 函数f(x)2的最大值是_3_. 解析函数的定义域为6，f(x)2，()2()212)()2()2339，当且仅当，即x7时取“”. 10. 设x0，y0，xy4，则的最小值为_1_. 三、解答题11. 大家分别用“综合法”“比较法
3、”和“分析法”证明了不等式：已知a、b、c、d都是实数，且a2b21，c2d21，则|acbd|1. 这就是著名的柯西(A. L. Cauchy，法国数学家、力学家)不等式当n2时的特例，即(acbd)2(a2b2)(c2d2)，等号当且仅当adbc时成立. 请用自然语言叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明. 解析数学语言叙述柯西不等式：若a、b、c、dR，则(acbd)2(a2b2)(c2d2)，等号当且仅当adbc成立. 二维形式的证明：(a2b2)(c2d2)a2c2b2d2a2d2b2c2a2c22abcdb2d2a2d22abcdb2c2(acbd)2(adbc)2(acbd)2，当
4、且仅当adbc0，即adbc时，等号成立. 12. 已知为锐角，a、b0，求证(ab)2. 解析设m(，)，n(cos，sin)，则|ab|cossin|mn|m|n|，当且仅当akcos2，bksin2，kR时等号成立. (ab)2. B级素养提升一、选择题1. 如果实数m、n、x、y满足m2n2a，x2y2b，其中a、b为常数，那么mxny的最大值为(B)A. B. C. D. 解析由柯西不等式，得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab，当mn，xy时，mxny. 2. 若a、bR，且a2b210，则ab的取值范围是(A)A. 2，2B. 2，2C. ，D. (，解析(a2b2)12(
5、1)2(ab)2，a2b210，(ab)220，2ab2. 3. 已知xy1，那么2x23y2的最小值是(B)A. B. C. D. 解析(2x23y2)()2()2(xy)2(xy)26，即2x23y2. 二、填空题4. 函数y34的最大值为_5_. 解析y2(34)2(3242)()2(x)225(x56x)25，当且仅当34，即x时等号成立，函数y的最大值为5. 5. 已知a、b、m、n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_2_. 解析根据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a2b2)(c2d2)(acbd)2，可得(ambn)(bman)(ambn)(anbm
6、)()2mn(ab)2212，当且仅当，即mn时，取得最小值2. 6. 函数y的最大值为_. 解析y，y1(当且仅当，即x时等号成立. )三、解答题7. 已知x2y22，且|x|y|，求的最小值. 解析令uxy，vxy，则x，y. x2y22，(uv)2(uv)28，u2v24. 由柯西不等式，得()(u2v2)4，当且仅当u2v22，即x，y0，或x0，y时，的最小值是1. 8. (2016徐州高二检测)已知a、b、c为正数，且满足acos2bsin2c，求证：cos2sin2. 解析证明：由柯西不等式，得cos2sin2(cos)2(cos)2 (cos2sin2)(acos2bcos2) .
