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1、 3 4 生活中的优化问题举例 第三章 导数及其应用 学习目标 1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点 生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题 通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3 解决优化问题的基本思路 优化问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程 数学建模 思考辨析 判断正误 1 生活中常见到的收益最高 用料最省等问题就是数学中的最大 最小 值问题 2 解决应用问题的关键是建立数学模型 题型探究 例1 请你设计一个包装盒
2、如图所示 ABCD是边长为60 cm的正方形硬 纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包 装盒 E F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB x cm 类型一 几何中的最值问题 解答 1 若广告商要求包装盒侧面积S最大 则x应取何值 当且仅当x 30 x 即x 15时 等号成立 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大 则x 15 2 若广告商要求包装盒容积V最大 则x应取何值 并求出此时包装盒的 高与底面边长的比值 解答 令V 0 得0 x 20 令V 0 得20 x 30 反思与感悟 面
3、积 体积 容积 最大 周长最短 距离最小等实际几何问 题 求解时先设出恰当的变量 将待求解最值的问题表示为变量的函数 再按函数求最值的方法求解 最后检验 特别注意 在列函数关系式时 要注意实际问题中变量的取值范围 即函数的定义域 跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S 当圆柱的容积V最小时 圆柱的 高h的值为 答案解析 解析 设圆柱的底面半径为r 则S圆柱底 2 r2 S圆柱侧 2 rh 圆柱的表面积S 2 r2 2 rh 令V r 0 得S 6 r2 h 2r V r 只有一个极值点 当h 2r时圆柱的容积最小 即当圆柱的容积V最小时 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题 例
4、2 某集团为了获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 百万元 可增加销售额 t2 5t 百万元 0 t 3 1 若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 解答 解 设投入t 百万元 的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 当t 2时 f t 取得最大值4 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 2 现该公司准备共投入3百万元 分别用于广告促销和技术改造 经预测 每投入技术改造费x百万元 可增加的销售额为 x2 3x 百万元 请 设
5、计一个资金分配方案 使该公司由此获得的收益最大 收益 销售额 投 入 解答 又当0 x0 当2 x 3时 g x 0 当x 2时 g x 取得 最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销 该公司由 此获得的收益最大 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 解答 跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单 位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其 中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售
6、出该商品11千克 1 求a的值 所以a 2 解答 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售 该商品所获得的利润最大 解 由 1 可知 该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值为42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 x 3 4 4 4
7、 6 f x 0 f x 极大值42 解答 命题角度2 用料 费用 最省问题 例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块 用128万元购买土地10 000 平方米 该中心每块球场的建设面积为1 000平方米 球场的总建筑面积 的每平方米的平均建设费用与球场数有关 当该中心建球场x块时 每平 方米的平均建设费用 单位 元 可近似地用f x 来刻画 为了 使该球场每平方米的综合费用最省 综合费用是建设费用与购地费用之和 该网球中心应建几个球场 令g x 0 则x 8 当0 x 8时 g x 8时 g x 0 所以当x 8时 函数取得极小值 且为最小值 故当建成8个球场时 每平方米的综合费用最省 反思与
8、感悟 费用 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数 表达式 准确求导 结合实际作答 跟踪训练3 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下 工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为 256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设 桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的 费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 解答 解 设需新建n个桥墩 则 n 1 x m 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 解答 所以x 64 当0 x
9、 64时 f x 0 f x 在区间 0 64 内为减函数 当64 x0 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以f x 在x 64处取得最小值 故需新建9个桥墩才能使y最小 令f x 0 得 512 达标检测 1 某公司的盈利y 元 和时间x 天 的函数关系是y f x 且f 100 1 这个数据说明在第100天时 A 公司已经亏损 B 公司的盈利在增加 C 公司的盈利在逐渐减少 D 公司有时盈利有时亏损 答案解析 12345 解析 因为f 100 1 所以函数图象在x 100处的切线的斜率为负 值 说明公司的盈利在逐渐减少 答案 2 已知某厂家生产某种产品的年利润y 单位 万元 与年
10、产量x 单位 万件 的函数关系式为y 36x 126 则使该生产厂家获取最大年利润的年 产量为 A 11万件 B 9万件 C 7万件 D 6万件 12345 解析 解析 由y x2 36 0 解得x 6或x 6 舍去 当0 x0 当x 6时 y 0 在x 6时y取最大值 答案解析 12345 3 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽 之比为2 1 则该长方体的最大体积为 A 2 m3 B 3 m3 C 4 m3 D 5 m3 12345 从而V x 18x 18x2 18x 1 x 令V x 0 解得x 1或x 0 舍去 故在x 1处V x 取得极大值 并且这个极大
11、值就是V x 的最大值 从而最大体积V V 1 9 12 6 13 3 m3 4 容积为256的方底无盖水箱 它的高为 时最省材料 12345 答案解析 解析 设水箱高为h 底面边长为a 则a2h 256 4 当0 a 8时 S 8时 S 0 12345 解答 5 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低 额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知当商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 12345 解 设商品降价x元 则每星期多卖的商品数为kx2 若记商品在一个
12、星期的获利为f x 则有 f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 由已知条件 得24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9 072 x 0 21 12345 解答 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解 由 1 得f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 2 2 2 12 12 12 21 f x 0 0 f x 极小值 极大值 故当x 12时 f x 取得极大值 因为f 0 9 072 f 12 11 664 所以当定价为30 12 18 元 时 才能使一个星期的商品销售利润最大 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实 际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导函数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为 最大 小 值 2 正确理解题意 建立数学模型 利用导数求解是解答应用问题的主要思 路 另外需要特别注意 1 合理选择变量 正确写出函数解析式 给出函 数定义域 2 与实际问题相联系 3 必要时注意分类讨论思想的应用 规律与方法
