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1、课时跟踪训练(二十三)直线的方向向量与平面的法向量1若直线l平面，且l的方向向量为(m,2,4)，平面的法向量为，则m为_2设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件n0的点M的轨迹是_3设直线l1的方向向量为a(2，1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1，m)，若l1l2，则m_.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。4在空间中，已知平面过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。5已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分
2、别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则x_，y_.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。6已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，2)，(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面经过点A，且是的法向量，M(x，y，z)是平面内任一点，试写出x、y、z满足的关系式酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。7在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面A1BC1的一个法向量；(3)若M为CD的中点，求平面AMD1的一个法向量8.如图，已知ABCDA1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图
3、所示AB3，BC4，AA12.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式答 案1解析：l的方向向量与平面的法向量平行.m1.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。答案：12解析：n0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念答案：过点A且与向量n垂直的平面3解析：l1l2，212m0.m.答案：4解析：平面xOy的法向量为n(0,0,1)，(3,4,0)，(3,0，a)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长
4、鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。则3x4yaz，取z1，则u，茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。故cosn，u.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。又a0，a.答案：5解析：由l1l2，得，解得x12，y9.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。答案：1296解：(1)B(2,0,0)，C(0,2，2)，(2,2，2)，即(2,2，2)为直线BC的一个方向向量(2)由题意(x2，y2，z2)，平面，AM，.(2,2，2)(x2，y2，z2)0.2(x2)2(y2)2(z2)0.化简得xyz20.7.解：以A为坐标原
5、点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.(1)平面ABCD即为坐标平面xOy，n1(0,0,1)为其一个法向量(2)B1D平面A1BC1，又(0，a,0)(a,0，a)(a，a，a)，n2(1,1，1)为平面A1BC1的一个法向量(3)设n(x0，y0，z0)为平面AMD1的一个法向量，(0，a，a)，預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。令x02，则y01，z01，n(2，1,1)为平面AMD1的一个法向量8解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系Axyz中，各点坐标为B
6、1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。由此得(0,4，2)，(3,0,2)；设平面B1CD1的一个法向量为a(x，y，z)，则a，a，从而a0，a0，所以0x4y2z0，3x0y2z0，解方程组得到擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。不妨取z6，则y3，x4.所以a(4,3,6)就是平面B1C1D的一个法向量(2)由题意可得(x3，y，z2)，因为a(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a，从而a0，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。即4(x3)3y6(z2)0,4x3y6z24，所以满足题意的关系式是4x3y6z24.
