《优课系列高中数学北师大选修2-2 4.1定积分的概念 课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《优课系列高中数学北师大选修2-2 4.1定积分的概念 课件.ppt（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定积分的概念 v两个实例 v定积分的定义 v定积分的存在定理 v定积分的几何意义 v定积分的性质 a bx y o 实例1 求曲边梯形的面积 一 两个实例 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近 曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入 n 1 个分点 用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 2 近似 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以为底 为高的小矩形 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积得 3 求和 4 取极限 令则曲边梯形面积 1 化整为零 2 以直代曲 以常代变 3 积零
2、为整 y x o y f x a b 分法越细 越接近精确值 曲边梯形的面积 f i 4 取极限 y x o y f x 令分法无限变细 a b 分法越细 越接近精确值 1 化整为零 2 以直代曲 以常代变 3 积零为整 f i 曲边梯形的面积 4 取极限 y x o y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1 化整为零 2 以直代曲 以常代变 3 积零为整 f i A A a b 曲边梯形的面积 实例2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干个小段 每 小段上速度看作不变 求出各小段的路程 再相加 便得到路程的近似值 最后通过 对时间的无限细分过程求得路程的精确值 tO
3、 T1T2 t0t1tn 1 tn titi 1 第i段路程值第i段某时刻的速度 曲边梯形的面积 1 分割 2 近似 3 求和 4 取极限 变速直线运动的路程 i 1 2 n 作和 max Dx1 Dx2 Dxn 在小区间 xi 1 xi 上任取一点 i 记Dxi xi xi 1 i 1 n 个分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 设函数f x 在区间 a b 上有界 极限存在 且极限值与区间 a b 的分法和 i的取法无关 则称此极限为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记为 即 二 定积分的定义 在区间 a b 内插入n 1 如果当 0时 上述和式的 此时称 f x 在 a
4、b 上可积 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 积分和 读作 从a到b函数f x 的定积分 曲边梯形面积A 变速运动的路程 S 记为 记为 关于定积分的说明 求导有如下的式子 定积分只与被积函数 积分上 下限有关 而与积 记号无关 即 定积分表示一个数 而不定积分是一个函数族 它们分别对 分变量的 例1 计算 1 分割等分 2 近似取 矩形面积 3 求和 4 取极限 定理1 定理2 三 定积分的存在定理 四 定积分的几何意义 几何意义 a b 定积分几何意义的应用 14 2 8 17 3 0 x y 3 3 定积分几何意义的应用 例2 用定积分表示下列图中阴影部分的面积 例3
5、用定积分表示由 1o 解 平面图形如右图所示 所围平面图形的面积 例4 用定积分表示由 所围 平面图形的面积 1o 解 平面图形如右图所示 A2 A1 由图可知 因为 所以 若 是奇函数 则 若 是偶函数 则 a a 对称区间上的定积分 aa 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存 在 且不考虑积分上下限的大小 五 定积分的性质 证 性质1 证 性质2 补充 不论 的相对位置如何 上式总成立 例 若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 证 性质4 性质5 性质5的推论 证 1 证 性质5的推论 2 例5 比较下列各对积分值的大小 1 1 因为在 2 和 2 和 解上 由推论知 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 演示 性质7 定积分中值定理 积分中值公式 几何解释
