《湖南省衡阳市高三第三次联考（三模）数学（理）试题 Word版（含答案）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省衡阳市高三第三次联考（三模）数学（理）试题 Word版（含答案）.docx（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则在复平面内的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.若，则的值为（ ）A B C D3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数大约为（ ）A1193 B1359 C2718 D3413附：若，.4.有下列三个结论：命题“”的否定是“”；“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；命题“角的终边在第一象限，则为锐角”的逆否命题为真命题；其中正确结论的个数为（ ）A0个
2、B1个 C2个 D3个5.某产品在某零售摊位的零售价（单位：元）与每天的销售量（单位：个）的统计资料如下表所示，由表可得回归直线中的，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（ ）X16171819y50344131A23个 B25个 C27个 D29个6.将的图象右移个单位后得到的图象，若对于满足的有的最小值为，则的值为（ ）A B C D7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的，则输出的等于（ ）A6 B7 C8 D98.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A B4 C D39.双曲线的左、右焦点为，抛物线的焦点为，点为
3、双曲线与抛物线的一个交点，若线段的中点在轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D10.将4名大学生分配到三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到学校，则不同的分配方案共有（ ）A36种 B30种 C24种 D20种11.设为抛物线上任意两点，点的坐标为，若的最小值为0，则等于（ ）A B C D012.已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，为边的两个三等分点，则 .14.已知，点满足，则的最大值为 .15.已知为球球面上四点，其中为正三角形，三棱锥的体积为，且，则球的表面
4、积为 .16.若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设函数，数列满足，其中，且.（1）求数列的通项公式；（2）对，设，若恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）某校为了解一个英语教改班的情况，举行了一次测试，将该班60位学生的英语成绩进行统计，得频率分布直方图如图，其中成绩分组区间为，.（1）求出该班英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在的记1绩点分，在的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为，求的分布列
5、和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，面，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）设，求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为.（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数，满足，且，其中为自然对数的底数.（1）已知，求在处的切线方程；（2）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上，总存在一点，使得，且的中点在轴上，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所
6、做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过圆外一点作圆的两条切线，其中为切点，为圆的一条直径，连并延长交的延长线于点.（1）证明：；（2）若，求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，圆的方程为.（1）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；（2）已知为圆上的动点，求面积的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，记的解集为.（1）求；（2）已知，比较与的大小.答案与解析1.B 2.C 3.B 4.B 只有对5.D由代入方程可知a=10
7、9，当时，6.B 由图可知，7.C 8.B 如图，所求几何体的体积为9.B 如图，由题意可知：抛物线方程为的中点在y轴上，带入抛物线方程可得，又点P在双曲线上，10.C ：甲单独一人，则，：甲与另一人一起，则：11. C 由图可知， 图中此时的故此时EM与抛物线相切，且12. A 一根在中间，一根在，即：，13.14. 1 ，如图，第15题图15. 令BC=，则，又中，从而，令球O的半径为R，则在中可知：，16. 令为图象上满足条件的对称点，则在的图象上，方程上有解，且函数为定义域上的减函数，又当，17.解：(1)由可得，.所以是等差数列，因为，所以，. 4分(2)因为，所以，所以. 8分恒成
8、立等价于，即恒成立9分令，则 ，18.解：（1）由频率分布直方图可知：众数为85；该班学生英语成绩的平均数为81.（2）依题意，成绩在的学生数为，成绩在的学生数为，成绩低于80分的学生总人数为12，可取的值为2,3,4，的分布列为：的数学期望.19.（解法一）（1）证明：如图1，取的中点，连接，因为分别是的中点，所以，且.又底面为正方形，且是的中点，所以，且.于是，且，所以是平行四边形，所以.又平面，平面，故平面.（2）如图2，取的中点分别为，连接.因，得，又是的中点，所以.又因为平面，所以，由底面为正方形，可得，而，所以平面，又分别为的中点，则，所以平面，又平面，则.由于，所以平面.又由（1
9、）知，故平面.因此是二面角的平面角.设，由，得，又平面，平面，得，所以，从而，故所求二面角的余弦值为.（解法二）以为原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系，（1）设，则，所以，于是.则，又是平面的一个法向量，所以平面.（2）设，有，则，则，设平面的法向量为，则，所以，取.同理可得面的一个法向量为，所以.故所求二面角的余弦值为.20. （1）的焦点的坐标为.由点到直线的距离为，得.，解得，又为椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，与都关于轴对称，而的方程为，从而与的公共点的坐标为，联立解得，的方程为，点的坐标为.（2）当过点且垂直于轴时，的方程为，代入，求得，把代入求得.，此时，当与轴不垂直时，要
10、使与有两个交点，可设的方程为，此时设把直线的方程与椭圆的方程联立得，消去化简得，可得，把直线的方程与抛物线的方程联立得，消去化简得，可得，综上可得的取值范围是.21、解：（1），。在处的切线方程为：，即 5分（2），从而， 6分设为在时的图象上的任意一点，则，的中点在轴上，的坐标为，所以，.由于，所以. 8分当时，恒成立，； 9分当时，令，则，从而在上为增函数，由于时， 11分12分(22) 【解析】（）连接、，因为、为圆的切线，所以垂直平分又为圆的直径，所以，所以又为的中点，故为的中点，所以 5分（）设，则，在中，由射影定理可得：，在中，= 10分. (23) 【解析】（）由，可得：，所以故在平面直角坐标系中圆的标准方程为： 5分（）在直角坐标系中所以，直线AB的方程为：所以圆心到直线AB的距离，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为故面积的最大值为 10分(24) 【解析】（）由，得或或解得：故 5分（）由（）知因为当时，所以当时，所以当时，所以综上所述：当时， 当时，当时， 10分
