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1、 绝密启用前在此卷上答题无效2019 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷A.B.理科数学一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A =-1, 0,1, 2，B =x x21，则AI B =1.已知集合()A.-1, 0,1B.0,1C.-1, 1D.0,1, 2C.D.z(1+ i) = 2i ，则z =()2.若A.-1- iB.-1+iC.1- iD.1+i3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过西
2、游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面ECD 平面ABCD，M 是线段ED 的中点，则()西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6x3 的系数为C.0.7D.0.84.(1+ 2x2)(1+ x)4的展开式中()A.12B.16C.20D.24A. BM = EN ，且直线BM，EN 是相交直线B. BM EN ，且直线BM，EN 是相交直线C. BM = EN ，且直线BM，EN 是异面直线D. BM EN ，且直线
3、BM，EN 是异面直线5.已知各项均为正数的等比数列a 的前4 项和为15，且a = 3a + 4a ，则a =n5313()A.16B.8C.4D.26.已知曲线y = aex + x x 在 点（1，a e）处的切线方程为y = 2x + b ，则ln(e0.01s9.执行下边的程序框图，如果输入的 为，则输出 的值等于()A. a = e，b = 1C. a = e 1，b =1B. a = e，b =1D. a = e 1，b = -12x3在-6, 6的图象大致为)7.函数y =2x+ 2-x数学试卷 第 1 页（共 8 页）数学试卷 第 2 页（共 8 页） p f (x)在（0,
4、）单调递增1012 29w，) 的取值范围是5 10其中所有正确结论的编号是A. B.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.()C.D.13.已知a，b 为单位向量，且ab = 0 ，若c = 2a - 5b ，则cos a ,c =.S1014.记S 为等差数列a 的前n 项和，a 0，a = 3a，则=.nn121S51111x2y2A. 2 -B. 2 -C. 2 -D. 2 -15.设F，F 为椭圆 C:+=1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若242526271236 20x2y2-MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为.421 210.双曲线C：=
5、1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，PO = PF16.学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD - A B C D 挖去四棱锥O - EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中若，则PFO的面积为()3 243 221111A.B.C.2 2D.3 2心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB = BC = 6 cm，AA1 = 4 cm，3D 打11.设f (x)是定义域为R 的偶函数，且在(0,+)单调递减，则()印所用原料密度为0.9 g/ cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为31 3223-A. f
6、 logf 2f 23g.4 1 2332-B. f logf 2f 234 3221 -C. f 2f 23f log34 23321 -D. f 2f 2f log34 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.p f (x)= sin wx +(w0)，已 知 f (x)在0, 2p有且仅有5 个零点，下述12.设函数5 四个结论： f (x)在（0, 2p ）有且仅有3 个极大值点0, 2p ）有且仅有2 个极小值点17.（12 分） f
7、(x)在（为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A，B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶数学试卷 第 4 页（共 8 页）数学试卷 第 3 页（共 8 页） 液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：19.（12 分）图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，在此卷上答题无效BE = BF = 2，FBC = 60.将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连
8、结DG，如图2.（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC 平面BCGE ；（2）求图2 中的二面角B -CG - A的大小.记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的 估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.20.（12 分）已知函数f (x) = 2x3- ax +b .2（1）讨论f (x) 的单调性；f (x) 在区间0,1 的最小值为-1且最大值为1？若存（2）是否存在a,b，使得18.（12 分）A+ C在，求出a,b 的
9、所有值；若不存在，说明理由.ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c.已知asin= bsin A .2（1）求B；（2）若ABC 为锐角三角形，且c =1，求ABC 面积的取值范围.数学试卷 第 5 页（共 8 页）数学试卷 第 6 页（共 8 页） 21.（12 分）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。x21已知曲线C：y = ，D 为直线y = - 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分2222.选修44：坐标系与参数方程（10 分）别为A，B.p3p如图，在极坐标系 Ox 中，A(2, 0) B( 2, ) ，
10、C( 2, )，D(2,p)，弧，AB44（1）证明：直线AB 过定点：p 5 ，曲线 是弧，曲线M(1, 0) (1, ) (1,p)M0，BC，CD 所在圆的圆心分别是，AB（2）若以E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边122 2 M是弧BC ，曲线 是弧CD .3形ADBE 的面积.MMM3（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；12MMM3（2）曲线M 由 ， ， 构成，若点P 在M 上，且| OP |= 3 ，求P 的极12坐标.23.选修45：不等式选讲（10 分）设x, y, z R ，且x + y + z =1.（1）求(x -1)2+ (y +1)2+
11、 (z +1)2 的最小值；1（2）若(x - 2)2+ (y -1)2+ (z - a)2 成立，证明：a -3或a -1.3数学试卷 第 7 页（共 8 页）数学试卷 第 8 页（共 8 页） 2019年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学答案解析一、选择题1【答案】A【解析】集合B =| x|-1x1，则AI B =| -1,0,1|，故选A【考点】集合的交运算，解一元二次不等式【考查能力】运算求解2【答案】D2 i2i(1-i)2+2i2【解析】z =1+ i ，故选D1+i (1+i)(1-i)【考点】复数的四则运算【考查能力】运算求解3【答案】C【解析】根据题意阅读过红楼梦西
12、游记的人数用书思图表示如下：70所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为= 0.7 ，故选B100【考点】韦恩图的应用与概率问题【考查能力】阅读理解4【答案】B【解析】展开式中含x3 的项可以由“1 与 x3 ”和“ 2x3 与 x ”的乘积组成，则 x3 的系数C43+ 2C41= 4 +8 =12 ，故选B【考点】二项展开式通项公式的应用5【答案】Ca qa = 3a + 4a ，得q4= 3q2+ 4 ，得q2= 4 ，因为数列a 的各n【解析】设等比数列的公比为 ，由n531项均为正数，所以q = 2 ，又a + a + a + a =a (1+ q + q2+ q3)= a (1+ 2 + 4+8) =15，所以a =1，所1234111a = a q = 42以31故选C1/9 【考点】等比数列通项公式
