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1、第 1 页 共 15 页 高考数学二模试卷 理科 高考数学二模试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 8 小题 共 24 0 分 1 集合 M x x 1 N x x2 x 0 则 A M N x x 1 B M N x x 0 C M ND N M 2 已知 a R i R 则 a A 4B 3C 2D 1 3 设 an 是首项为正数的等比数列 公比为 q 则 q 0 是 对任意的正整数 n a2n 1 a2n 0 的 A 充要条件B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件 4 一个棱锥的三视图如图所示 则该棱锥的外接球的表面积 为 A 32 B 3
2、4 C 36 D 38 5 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n 则记为 N n bmodm 例如 83 5 bmod6 执行如图所示的程序框图 则输出的结果为 A 2019B 2023C 2031D 2047 第 2 页 共 15 页 6 已知函数的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 若将函数 y f x 的图象向左平移 个单位得到函数 y g x 的图象 则在下列 区间中使 y g x 是减函数的是 A B C D 7 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点为 F1 F2 以 O 为圆心 以 OF1 为半径的圆与双曲线的两条渐近线在 y 轴左侧交于 A B 两点 且 AB
3、F2是等边三 角形 则双曲线的离心率为 A 2B C D 8 函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 对任意两个正数 x1 x2 x1 x2 都有 记 则 a b c 之间的大小关 系为 A a b cB b c aC c b aD a c b 二 填空题 本大题共 6 小题 共 18 0 分 9 若 x y 满足约束条件 则 z x 2y 的取值范围是 10 在 2 x 1 2x 5的展开式中 x2的系数为 11 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 圆 C 的极坐标方程为 2cos 若直线 l 与该圆 C 相交所得弦长为 则 m 的值为 12 函数 f x ax 1 2 a 0 a 1
4、的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 上 其中 m 0 n 0 则 的最小值为 13 如图 已知 AB 2 ABC 135 2 则 14 已知函数 f x F x f x ax 有 4 个零点 则 a 的取值 范围是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 72 0 分 15 某项竞赛分为初赛 复赛 决赛三个阶段进行 每个阶段选手要回答一个问题 规 定正确回答问题者进入下一个阶段竞赛 否则即遭淘汰 已知某选手通过初赛 复 赛 决赛的概率分别为 且各阶段通过与否相互独立 1 求该选手在复赛阶段被淘汰的概率 2 该选手在竞赛中回答问题的个数为 求 的分布列与均值 第 3 页 共 1
5、5 页 16 已知函数 求函数 f x 的最小正周期和单调递减区间 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 若 b c 7 ABC 的面积为 求边 a 的长 17 如图 已知菱形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直 其中 BE AF AB AF AB BE AF 2 CBA P 为 DF 的中点 1 求证 PE 平面 ABCD 2 求二面角 D EF A 的余弦值 3 设 G 为线段 AD 上一点 若直线 FG 与平面 ABEF 所成角的正弦值 为 求 AG 的长 18 已知单调递增的等比数列 满足 且是 的等差中项 求数列的通项公式 若 对任意正整数 n 恒
6、成立 试求 m 的取值范围 第 4 页 共 15 页 19 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 R x0 y0 是椭圆 C 1 a b 0 上一点 从原点 O 向圆 R x x0 2 y y0 2 8 作两条切线 分别交 P Q 两点 1 若 R 点在第一象限 且直线 OP OQ 求圆 R 的方程 2 若直线 OP OQ 的斜率存在 并记为 k1 k2 求 k1 k2 3 试问 OP2 OQ2是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 20 设函数 f x x2 2x alnx a R 1 当 a 2 时 求函数 f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若函数 f x 存在两个极值点 x
7、1 x2 x1 x2 求实数 a 的范围 证明 第 5 页 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 解 N x 0 x 1 M N x 0 x 1 M N x x 1 N M 故选 D 可求出集合 N x 0 x 1 从而得出 N 是 M 的真子集 即选项 D 正确 考查描述法的定义 一元二次不等式的解法 真子集的定义 2 答案 A 解析 分析 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由虚部为 0 求解 解答 解 i R 4 a 0 得 a 4 故选 A 3 答案 B 解析 解 因为 an 是首项为正数的等比数列 公比为
8、q 当 q 0 时 an a1qn 1 0 即对任意的正整数 n a2n 1 a2n 0 当对任意的正整数 n a2n 1 a2n 0 则 a1q2n 2 1 q 0 即 q 1 且 q 0 即 q 0 是 对任意的正整数 n a2n 1 a2n 0 的充分不必要条件 故选 B 由等比数列的通项公式及充分必要条件得 当 q 0 时 an a1qn 1 0 即对任意的正整 数 n a2n 1 a2n 0 当对任意的正整数 n a2n 1 a2n 0 则 a1q2n 2 1 q 0 即 q 1 且 q 0 即 q 0 是 对任意的正整数 n a2n 1 a2n 0 的充分不必要条件 得解 本题考查
9、了等比数列的通项公式及充分必要条件 属中档题 4 答案 B 解析 解 由三视图可知 原几何体是一个四棱 锥 侧棱 PD 3 且 PD 底面 ABCD 底面是一个 矩形 且 AD 3 DC 4 连接对角线 AC BD 相交于点 M 则 DM 2 5 设此四棱锥的外接球的球心为 O 则 OM 底面 ABCD 连接 OP OD 则 OP OD 取 PD 的中点 N 则 ON PD DN 1 5 于是此四棱锥的外接球的半径 r 第 6 页 共 15 页 该棱锥的外接球的表面积 4 r2 4 8 5 34 故选 B 由三视图可知 原几何体是一个四棱锥 侧棱 PD 3 且 PD 底面 ABCD 底面是一个
10、 矩形 且 AD 3 DC 4 其外接球的球心 O 是在过底面 ABCD 对角线的交点 M 且与底 面垂直的直线上和 PD 的中垂面的交点 据此可求出外接球的半径 进而求出答案 由三视图正确恢复原几何体和求出外接球的半径是解决问题的关键 5 答案 C 解析 分析 本题考查的知识要点 程序框图的应用 直接利用程序框图和整除问题求出结果 解答 解 根据正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n 则记为 N n bmodm 则 执行循环时 n 2017 i 2 n 2017 2 2019 由于 2019 3 mod6 所以 2019 1 mod5 执行下一次循环 当 n 2031 时 2031 1
11、mod5 输出 n 2031 故选 C 6 答案 B 解析 解 函数 2sin x 的图象 与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 4 若将函数 y f x 的图象向左平移 个单位得到函数 y g x 2sin 4x 2sin 4x 的图象 则在区间 0 上 4x y g x 没有单调性 故排除 A 在区间 上 4x y g x 单调递减 故满足条件 在区间 0 上 4x y g x 没有单调递性 故排除 C 在区间 上 4x y g x 没有单调递性 故排除 D 故选 B 利用三角恒等变换化简函数的解析式 根据正弦函数的周期性求得 根据函数 y Asin x 的图象变换规律求得 g x 的解析式
12、 再利用正弦函数的单调性 得出结论 本题主要考查三角恒等变换 正弦函数的周期性 函数 y Asin x 的图象变换规 律 正弦函数的单调性 属于中档题 7 答案 A 第 7 页 共 15 页 解析 解 以 F1O 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在 y 轴左侧交于 A B 两点 且 F2AB 是等边三角形 与双曲线的两条渐近线 y x 相交于 A B 两点 可设 A c B c 由 F2AB 为等边三角形 则 c2 a2 3a2 解得 e 故选 A 求得双曲线的渐近线方程和 A B 的坐标 由 F2AB 为等边三角形 可得 ab 的关系 再由离心率公式 可得所求值 本题考查双曲线的离心率的求法
13、 注意运用双曲线的渐近线方程和直角三角形的性质 考查方程思想和运算能力 属于中档题 8 答案 A 解析 解 构造函数 g x 则函数单调递减 0 22 1 log35 a b c 故选 A 构造函数 g x 则函数单调递减 比较变量的大小 即可得出结论 本题考查函数的单调性 考查构造方法的运用 正确构造函数是关键 9 答案 4 解析 解 x y 满足约束条件 表示的可行域如图 目标函数 z x 2y 经过 C 点时 函数取 得最小值 由解得 C 2 1 目标函数的最小值为 4 目标函数的范围是 4 故答案为 4 画出约束条件的可行域 利用目标函数的最优解求解即可 本题考查线性规划的简单应用 画
14、出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键 10 答案 70 解析 解 在 2 x 1 2x 5的展开式中 x2的系数为 2 22 2 70 故答案为 70 直接利用二项展开式的通项公式 求得 2 x 1 2x 5的展开式中 x2的系数 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 二项式系数的性质 属于基 础题 第 8 页 共 15 页 11 答案 m 或 m 解析 解 由消去 t 得 4x 3y 3m 0 由 2cos 得 2 2 cos 得 x 1 2 y2 1 依题意得 12 2 2 解得 m 或 m 故答案为 m 或 m 先把直线 l 和曲线化成直角坐标方程 然后在圆中用勾股定理
15、可得 本题考查了简单曲线的极坐标方程 属中档题 12 答案 解析 分析 利用题意首先确定 m n 的关系式 然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终 结果 本题考查了指数函数恒过定点问题 均值不等式及其应用等 重点考查学生对基础概念 的理解和计算能力 属于中等题 解答 解 由指数函数的性质可得 A 1 1 点在直线上 则 m n 1 0 m n 1 则 当且仅当时等号成立 综上可得 的最小值为 故答案为 13 答案 2 解析 解 因为 2 所以 2 即 22 2 4 又 2 所以 2 即 ABO 60 又 ABC 135 所以 OBC OCB 75 即 BOC 30 即 cos30 2 故
16、答案为 2 第 9 页 共 15 页 由平面向量数量积的性质及其运算得 因为 2 所以 2 即 22 2 4 又 2 所以 2 即 ABO 60 又 ABC 135 所以 OBC OCB 75 即 BOC 30 即 cos30 2 得解 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算 属中档题 14 答案 0 解析 解 当 e x 2e 时 f x f 2e x f x 的图象关于直线 x e 对称 做出 f x 的函数图象如图所示 F x f x ax 有 4 个零点 y ax 与 y f x 的图象有 4 个交点 当直线 y k1x 经过点 e 1 时 k1 设直线 y kx 与 y lnx 相切 切点为 x0 y0 则 解得 x0 e y0 1 k2 0 a 故答案为 0 做出 f x 的函数图象 根据直线 y ax 与 y f x 有 4 个交点得出 a 的范围 本题考查了函数零点与函数图象的关系 考查函数对称性 切线斜率等知识 属于中档 题 15 答案 解 1 记 该选手通过初赛 为事件 A 该选手通过复赛 为事件 B 该选手通过决赛 为事件 C 第 10 页 共 15 页 则 P
