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1、第 1 页 共 15 页 高考数学三诊试卷 理科 高考数学三诊试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 M x 1 x 3 N 1 2 则 M N A 1 B 1 2 C 0D 1 2 2 i 为虚数单位 复数 z 满足 z 1 i i 则 z A B C 1D 3 中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一 套指数体系 如图所示的折线图是 2017 年和 2018 年的中国仓储指数走势情况 根据 该折线图 下列结论中不正确的是 A 2018 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2017 年同期波动性更大 B
2、 这两年的最大仓储指数都出现在 4 月份 C 2018 年全年仓储指数平均值明显低于 2017 年 D 2018 年各仓储指数的中位数与 2017 年备月仓储指数中位数差异明显 4 已知变量 x y 满足 则 x2 y2的最大值为 A 10B 5C 4D 2 5 将函数的图象向左平移个单位 得到函数 g x 的图象 则 g x 的解析式为 A g x cos2xB g x cos2x C g x sin2xD 6 已知 an 是正项等比数列 且 a1a8 4a5 a4与 2a6的等差中项为 18 则 a5 A 2B 4C 8D 16 7 函数的图象大致是 A B C D 8 已知一个封闭的长方
3、体容器中装有两个大小相同的铁球 若该长方体容器的三个相 邻侧面的面积分别为 6 8 12 则铁球的直径最大只能为 A B 2C D 4 第 2 页 共 15 页 9 已知双曲线 E a b 0 的两个焦点分别为 F1 F2 以原点 O 为圆心 OF1为半径作圆 与双曲线 E 相交 若顺次连接这些交点和 F1 F2恰好构成一个 正六边形 则双曲线 E 的离心率为 A B 2C D 3 10 在 1 x 5的展开式中 x2项的系数为 A 50B 30C 30D 50 11 若 x y z R 且 3x 4y 12z n n 1 n N 则 n 的值是 A 2B 3C 4D 5 12 已知抛物线 C
4、 y2 4x 的焦点为 F 过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 A B 两点 若在以线段 AB 为直径的圆上存在两点 M N 在直线 l x y a 0 上存在一 点 Q 使得 MQN 90 则实数 a 的取值范围为 A 13 3 B 3 1 C 3 13 D 13 13 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 函数 f x 则 f 9 14 已知向量 sin2 1 cos 1 若 0 则 15 在 九章算术 中有称为 羡除 的五面体体积的求法 现有一个类似于 羡除 的有三条棱互相平行的五面体 其三视图如图所示 财该五面体的体积为 16 已知数列 an 的前 n
5、项和为 Sn a1 1 a2 3 且 Sn 1 Sn 1 2n 2Sn n 2 若 Sn an 7 2 n对任意 n N 都成立 则实数 的最小值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知 ABC 的内角 A B C 所对边分别为 a b c 且 2acosC 2b c 1 求角 A 的大小 2 若 AB 3 AC 边上的中线 SD 的长为 求 ABC 的面积 18 甲 乙两家物流公司都需要进行货物中转 由于业务量扩大 现向社会招聘货车司 机 其日工资方案如下 甲公司 底薪 80 元 司机毎中转一车货物另计 4 元 乙 公司无底薪 中转 40 车货物以内 含 40 车 的
6、部分司机每车计 6 元 超出 40 车 第 3 页 共 15 页 的部分司机每车计 7 元 假设同一物流公司的司机一天中转车数相同 现从这两家 公司各随机选取一名货车司机 并分别记录其 50 天的中转车数 得到如下频数表 甲公司货物中转车数频数表 中转车数3839404142 天数101510105 乙公司货物中转车数频数表 中转车数3839404142 天数51010205 1 现从记录甲公司的 50 天货物中转车数中随机抽取 3 天的中转车数 求这 3 天中转车数都不小于 40 的概率 2 若将频率视为概率 回答下列两个问题 记乙公司货车司机日工资为 X 单位 元 求 X 的分布列和数学期
7、望 E X 小王打算到甲 乙两家物流公司中的一家应聘 如果仅从日工资的角度考虑 请 利用所学的统计学知识为小王作出选择 并说明理由 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底而 ABCD 是菱形 且 PA AD 2 PAD BAD 120 E F 分别为 PD BD 的 中点 且 1 求证 平面 PAD 平面 ABCD 2 求锐二面角 E AC D 的余弦值 20 已知焦距为 的椭圆 E a b 0 的右顶点 A 点 P 0 直 线 PA 交椭圆 E 于点 B 1 求椭圆 E 的方程 2 设过点 P 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 M N 两点 W 在 P N 之间 若四边形 MN
8、AB 的面积是 PMB 面积的 5 倍 求直线 l 的斜率 k 第 4 页 共 15 页 21 已知函数 有两个不同的极值点 x1 x2 且 x1 x2 1 求实数 a 的取值范围 2 求证 x1x2 a2 22 在平面直角坐标系 xOy 中 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 1 cos2 8sin 1 求曲线 C 的普通方程 2 直线 l 的参数方程为为参数直线 l 与 y 轴交于点 F 与曲线 C 的交点为 A B 当 FA FB 取最小值时 求直线 l 的直角坐标方程 23 已知函数 f x 2x 1 x m l 当 m l 时 解不等式
9、f x 3 2 证明 对任意 x R 2f x m 1 m 第 5 页 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 分析 本题考查交集的求法 考查交集定义 不等式性质等基础知识 考查运算求解能力 是 基础题 利用交集定义直接求解 解答 解 集合 M x 1 x 3 N 1 2 M N 1 2 故选 B 2 答案 B 解析 分析 本题考查复数的模的求法 考查计算能力 直接利用复数的模的运算法则化简求解即可 解答 解 i 为虚数单位 复数 z 满足 z 1 i i 故选 B 3 答案 D 解析 分析 通过图象可看出 2018 年 1 月至 4 月的图象变化较 2017 年同期要大 从而
10、判断出选项 A 的结论正确 由图象看出这两年的最大仓储指数都在 4 月份 从而判断 B 的结论正确 2018 年的图象基本在 2017 年的下边 从而得出选项 C 的结论正确 从而错误的结论 只能是 D 考查折线统计图的概念 以及读图的能力 解 通过图象可看出 选项 A B C 的结论都正确 选项 D 的结论错误 故选 D 4 答案 A 解析 解 作出变量 x y 满足 所对应的可行域 如图阴影部分 由解得 A 3 1 而 z x2 y2表示可行域内的点到原点距离的平 方 数形结合可得最大距离为 OA z x2 y2的最大值为 10 第 6 页 共 15 页 故选 A 作出可行域 z x2 y
11、2表示可行域内的点到原点距离的平方 数形结合可得 本题考查简单线性规划 准确作图是解决问题的关键 属中档题 5 答案 A 解析 分析 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律 三角函数的诱导公式 属于基础 题 由题意利用诱导公式 函数 y Asin x 的图象变换规律 得出结论 解答 解 将函数 f x sin 2x 的图象向左平移个单位 得到 g x 的解析式为 g x sin 2x sin 2x cos2x 故选 A 6 答案 C 解析 解 设正项等比数列 an 的公比为 q 0 a1a8 4a5 a4与 2a6的等差中项为 18 a12q7 4a1q4 a4 2a6 36 即
12、a1 q3 2q5 36 解得 a1 q 2 则 a5 16 故选 C 设正项等比数列 an 的公比为 q 0 由 a1a8 4a5 a4与 2a6的等差中项为 18 可得 a12q7 4a1q4 a4 2a6 36 解得 a1 q 再利用等比数列的通项公式求解即可 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 7 答案 A 解析 解 f x xln x f x f x 是奇函数 图象关于原点对称 排除 C D 当 x 0 时 f x xlnx 当 x 1 时 f x 0 当 0 x 1 时 f x 0 故选 A 根据 f x 的对称性 函数值的符号进
13、行判断 本题考查了函数图象判断 属于中档题 8 答案 B 解析 解 长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为 6 8 12 设长方体的长 宽 高分别为 a b c 则 ab 6 ac 8 bc 12 ab ac bc 6 8 12 576 abc 2 242 解得 V长方体 abc 24 a 2 b 3 c 4 则长方体如图 第 7 页 共 15 页 长方体一分为二 两个铁球最大直径为 2 否则不可能放进长方体中 故选 B 设长方体的长 宽 高分别为 a b c 则由已知可得 ab 6 ac 8 bc 12 可求 V长 方体 abc 24 进而可得 a 2 b 3 c 4 由题意长方体一分为二 两
14、个铁球最大直径为 2 否则不可能放进长方体中 由此得解 本题主要考查了长方体体积的求法 考查了空间想象能力和推理论证能力 属于中档题 9 答案 C 解析 解 以 c 为半径的圆与双曲线的四个交点及 F1 F2恰好构成正六边形的六个 顶点 该正六边形的边长为 c 则 2a 1 c 则双曲线的离心率 e 1 故选 C 由已知中 以 O 为圆心 以 c 为半径的圆与双曲线的四个交点及 F1 F2恰好构成正六 边形的六个顶点 易求出该正六边形的边长及不相邻两个顶点之间的距离 进而求出 2a 的值 代入离心率表达式 e 即可得到答案 本题考查的知识点是双曲线的简单性质 其中根据已知条件 计算出 a 值
15、是解答本题 的关键 10 答案 B 解析 解 1 x 5表示 5 个因式 1 x 的乘积 在这 5 个因式中 有 2 个因式都选 x 其余的 3 个因式都选 1 相乘可得含 x2 的项 或者有 3 个因式选 x 有 1 个因式选 1 个因式选 1 相乘可得含 x2 的项 故 x2项的系数为 2 30 故选 B 由条件利用二项式定理 分类讨论求得 1 x 5的展开式中 x2项的系数 本题主要考查二项式定理的应用 体现了分类讨论的数学思想 属于中档题 11 答案 C 解析 分析 本题考查了对数运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 令 可得 z 代入 化简整理即可得 第 8 页 共 15
16、页 出 解答 解 令 则 则 故选 12 答案 A 解析 分析 本题考查直线和圆的位置关系 由题意得到圆心到直线的距离小于或等于 4是解决问 题的关键 属中档题 求得圆的方程 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为圆心 D 3 2 到直线 l 的距 离小于或等于 4 再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解 解答 解 过点 F 1 0 且斜率为 1 的直线方程为 y x 1 联立 x2 6x 1 0 AB 的中点坐标为 3 2 AB x1 x2 p 8 所以以线段 AB 为直径的圆圆 D x 3 2 y 2 2 16 圆心 D 为 3 2 半径 为 r 4 在圆 C 上存在两点 P Q 在直线 l 上存在一点 M 使得 PMQ 90 在直线 l 上存在一点 M 使得 M 到 C 3 2 的距离等于r 4 只需 C 3 2 到直线 l 的距离小于或等于 4 13 a 3 故选 A 13 答案 1 解析 分析 本题考查分段函数解析式求值问题 属于基础题 第 9 页 共 15 页 根据题意 由函数的解析式可得 f 9 f 5 f 1 进而计算可得答案 解答 解 根据题意 f x 则 f
