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1、第 1 页 共 14 页 高考数学二模试卷 文科 高考数学二模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A 1 2 3 4 B y y 3x 5 x A 则 A B A 1 2 B 1 4 C 2 4 D 3 4 2 已知复数 z 则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 A 1 1 B 1 1 C 1 2 D 1 2 3 已知双曲线的两条渐近线互相垂直 焦距为 8 则 C 的离 心率为 A B 2C D 4 高铁 扫码支付 共享单车 网购并称中国 新四大发明 近日对全国 100 个城 市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析
2、 其中共享单车使用的人数分 别为 x1 x2 x3 x100 它们的平均数为 方差为 s2 其中扫码支付使用的人数 分别为 3x1 2 3x2 2 3x3 2 3x100 2 它们的平均数为 方差为 s 2 则 s 2分别为 A 3 2 3s2 2B 3 3s2C 3 2 9s2D 3 2 9s2 2 5 已知变量 x y 满足约束条件 则 z x 2y 的最大值为 A 9B 8C 7D 6 6 已知 则 2cos A sin cos B sin cos C cos sin D 3cos sin 7 已知抛物线 y2 2px p 0 上的点 M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离大
3、 则抛物线的标准方程为 A y2 xB y2 2xC y2 4xD y2 8x 8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 B 4 C 6 D 8 第 2 页 共 14 页 9 在三棱锥 P ABC 中 PC 底面 ABC BAC 90 AB 3 AC 4 PBC 60 则三 棱锥 P ABC 外接球的体积为 A 100 B C 125 D 10 函数 f x sin 2x cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后 得函数 g x 的图象 若 g x 的图象关于点 对称 则 g x 的单调递 减区间是 A 2k 2k k ZB k k k Z C k k k ZD k k k
4、Z 11 a b c 分别为锐角 ABC 内角 A B C 的对边 函数 f x x2 c2 a2 ab 有唯一 零点 则 的取值范围是 A 1 3 B C D 1 2 12 设 0 m 2 已知函数 对于任意 x1 x2 m 2 m 都有 f x1 f x2 1 则实数 m 的取值范围为 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知函数 f x 则 14 已知两个单位向量 和 夹角为 120 则 15 已知四棱锥 P ABCD 的底面边长都为 2 PA PC 2 PB PD 且 DAB 60 M 是 PC 的中点 则异面直线 MB 与 AP 所成的角为 16
5、已知定义在 R 上的偶函数 y f x 2 其图象连续不间断 当 x 2 时 函数 y f x 是单调函数 则满足 f x f 1 的所有 x 之积为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 3 an 1 2Sn 3 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn log3an 若数列的前 n 项和为 Tn 证明 Tn 1 第 3 页 共 14 页 18 某电子商务平台的管理员随机抽取了 1000 位上网购物者 并对其年龄 在 10 岁到 69 岁之间 进行了调查 统计情况如表所示 年龄 10 20 20 30 30 40 40
6、 50 50 60 60 70 人数100150a200b50 已知 30 40 40 50 50 60 三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减 的等比数列 1 求 a b 的值 2 若将年龄在 30 50 内的上网购物者定义为 消费主力军 其他年龄段内 的上网购物者定义为 消费潜力军 现采用分层抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购物者中抽取 5 人 再从这 5 人中抽取 2 人 求这 2 人中至少有一人是消费 潜力军的概率 19 在四棱锥 M ABCD 中 平面 MAD 平面 ABCD 底面 ABCD 为矩形 AB 2 AM AD 3 MD 3 E F 分 别为线段 BC MD 上一点
7、 且 CE 1 DF 1 证明 AM BD 2 证明 EF 平面 MAB 并求三棱锥 D AEF 的体积 20 设 D 是圆 O x2 y2 16 上的任意一点 m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线 E 是直线 m 与 x 轴的交点 点 Q 在直线 m 上 且满足 2 EQ ED 当点 D 在圆 O 上运动 时 记点 Q 的轨迹为曲线 C 1 求曲线 C 的方程 2 已知点 P 2 3 过 F 2 0 的直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 交直线 x 8 于点 M 判定直线 PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列 并说明理由 第 4 页 共 14 页 21 已知函数 f x 1 l
8、nx ax2 1 讨论函数 f x 的单调区间 2 证明 xf x ex x ax3 22 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 t 为参数 其中 k Z 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2 的极坐标方程 2 2 cos 4 sin 4 0 1 求曲线 C1和曲线 C2的直角坐标方程 2 已知曲线 C1与曲线 C2交于 A B 两点 点 P 1 2 求 PA 2 PB 2的取值 范围 23 已知函数 f x x 1 1 解不等式 f x 2 f x 2 8 2 若 a 1 b 1 a 0 求证 第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B
9、解析 解 B 2 1 4 7 A B 1 4 故选 B 可求出集合 B 然后进行交集的运算即可 考查列举法 描述法的定义 元素与集合的关系 以及交集的运算 2 答案 A 解析 解 z 1 i 1 i 对应点到坐标为 1 1 故选 A 根据复数的运算 化简得 z 1 i 轭复数的概念 即可求解 本题主要考查了复数的运算 以及共轭复数的求解 其中解答中熟记复数的运算法则 以及共轭复数的概念是解答的关键 着重考查了运算与求解能力 属于基础题 3 答案 D 解析 解 由题意 双曲线 C 1 a 0 b 0 的两条渐近线互相垂直 焦距 为 8 可得 得 所以双曲线的离心率 e 故选 D 根据题意 列出方
10、程组 求得 a b c 的值 再利用离心率的计算公式 即可求解 本题主要考查了双曲线的离心率的求解 其中解答中熟记双曲线的几何性质 合理 准 确列出方程组 求得 a b c 的值 再利用离心率的计算公式求解是解答的关键 着重 考查了推理与运算能力 属于基础题 4 答案 C 解析 分析 根据题意 由平均数公式可得 x1 x2 x100 s2 x1 2 x2 2 x100 2 进而分析数据 3x1 2 3x2 2 3x3 2 3x100 2 的平均数与方差 即可 得答案 本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用 应该熟记样本数据的平均数和 方差的计算公式 合理化简与计算是解答的关键 着重考
11、查了推理与运算能力 属于基 础题 解答 解 根据题意 数据 x1 x2 x100的平均数为 方差为 s2 则 x1 x2 x100 s2 x1 2 x2 2 x100 2 第 6 页 共 14 页 若 3x1 2 3x2 2 3x3 2 3x100 2 的平均数为 则 3x1 2 3x2 2 3x100 2 3 2 方差 s 2 3x1 2 3 2 2 3x2 2 3 2 2 3x100 2 3 2 2 9s2 故选 C 5 答案 A 解析 解 由题意 作出约束条件所表示的可行区域 如图所示 目标函数 z x 2y 可化为 当直线过点 A 时 此时直线在 y 轴上的截 距最大 此时目标函数取得
12、最大值 又由 解得 A 1 4 所以目标函数的最大值为 z 1 2 4 9 故选 A 作出约束条件所表示的可行区域 结合图形确定目标的最优解 代入即可求解 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题 其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域 利用 一画 二移 三求 确定目标函数的最优解是解答的关键 着重 考查了数形结合思想 及推理与计算能力 属于基础题 6 答案 A 解析 解 因为 则 sin cos 用三角函数的诱导公司和三角函数的基 本关系式 可得 2cos 2cos 2cos sin cos sin cos 故选 A 由 则 sin cos 再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关
13、系式 即可得到答案 本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简问题 其中解答中 熟记三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键 着重考查了运算与求 解能力 属于基础题 7 答案 B 解析 解 抛物线 y2 2px p 0 上的点 M 到其焦点 F 的距离比点 M 到 y 轴的距离 大 可得 可得 p 1 所以抛物线的标准方程为 y2 2x 第 7 页 共 14 页 故选 B 利用抛物线的定义 转化列出方程求出 p 即可得到抛物线方程 本题考查抛物线的简单性质的应用 抛物线方程的求法 是基本知识的考查 8 答案 A 解析 解 由三视图知 几何体是一个简单组合体 左侧是
14、一个 半圆柱 底面的半径是 1 高为 4 右侧是一个半圆柱 底面半径为 1 高是 2 组合体的体积是 3 故选 A 几何体是一个简单组合体 左侧是一个半圆柱 底面的半径是 1 高为 4 右侧是一个半圆柱 底面半径为 1 高是 2 根据体积公式 得到结果 本题考查由三视图求几何体的体积 考查由三视图还原直观图 本 题是一个基础题 题目的运算量比较小 若出现是一个送分题目 9 答案 B 解析 分析 本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算 其中解答中根据组合体的结构特 征和球的性质 准确求解球的半径是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 属于中 档试题 在三棱锥 P ABC 中 求得 BC
15、5 又 PC 底面 ABC 所以 PC BC 在直角 PBC 中 求得 PB 10 进而得到三棱锥 P ABC 外接球的直径 得到 R 5 利用体积公式 即可 求解 解答 解 由题意知 在三棱锥 P ABC 中 BAC 90 AB 3 AC 4 所以 BC 5 又由 PC 底面 ABC 所以 PC BC PC AC 在直角 PBC 中 BC 5 PBC 60 所以 PB 10 PC 5 故 PA 由 故 PA AB 根据球的性质 可得三棱锥 P ABC 外接球的直径为 2R PB 10 即 R 5 所以球的体积为 V 故选 B 10 答案 C 解析 解 函数 f x sin 2x cos 2x
16、 2sin 2x 的图 象向左平移 个单位长度后 得函数 g x 2sin 2x 2sin 2x 的图象 再由函数 g x 的图象关于点 对称 k k Z 得到函数 g x 第 8 页 共 14 页 2sin 2x 令 2k 2x 2k 可得 k x k 故函数的减区间为 k k k Z 故选 C 利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式 利用函数 y Asin x 的图象变换规 律 求得 g x 的解析式 再利用正弦函数的图象的对称性求得 的值 再利用正弦单 调性求得 g x 的减区间 本题主要考查了三角函数的图象变换 以及三角函数的性质的应用 其中解答中熟记三 角函数的图象变换 以及合理 准确应用三角函数的性质求解是解答的关键 着重考查 了推理与运算能力 属于基础题 11 答案 D 解析 解 由题意 函数 f x 为偶函数且有唯一零点 则 f 0 0 所以 c2 a2 ab 由余弦定理 得 c2 a2 b2 2abcosC a2 ab 整理得 b2 2abcosC ab 即 b 2acosC a 所以 1 2cosC 由正弦定理 得 sinB 2sinAcosC sinA 即 sin
