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1、一 数学归纳法 1数学归纳法的概念先证明当n取第一个值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。2数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明3数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤(1)证明当n取第一个值n0(如取n01或2等)时命题成立；(2)假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都成立利用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明12223242(
2、1)n1n2(1)n1.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。思路点拨首先判断第1步是否满足，然后考虑由nk到nk1时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，所以等式成立酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(2)假设nk(kN，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1
3、)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，所以nk1时，等式也成立由(1)(2)得对任意nN，有12223242(1)n1n2(1)n1.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。1在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有12茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。成立时，(1)第一步检验的初始值n0是多少？(2
4、)第二步归纳假设n2k时(kN)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设nk(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立解：(1)n0为2.此时左边为1，右边为2.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。(2)假设n2k(kN)时，等式成立，就需证明n2k2(即下一个偶数)时，命题也成立(3)若假设nk(k为正偶数)时，等式成立，就需证明nk2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。2用数学归纳法证明：(nN)預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。证明：(1)
5、当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立(2)假设nk(kN，k1)时，等式成立即，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。当nk1时，左边铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。，当nk1时，等式也成立由(1)(2)知对任意nN，等式成立用数学归纳法证明整除问题例2求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN)证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1，可被a2a1整除(2)假设nk(kN，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1
6、)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，所以ak2(a1)2k1能被a2a1整除，即nk1时命题也成立由(1)(2)可知命题对所有nN都成立利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项”“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除证明：(1)当n1时，47127能被9整除命题成立(
7、2)假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由归纳假设(3k1)7k1能被9整除，又因为 18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11能被9整除，即nk1时命题成立则由(1)(2)可知对所有正整数n命题成立4用数学归纳法证明：1(3x)n(nN)能被x2整除证明：(1)n1时，1(3x)(x2)，能被x2整除，命题成立(2)假设nk(k1)时，1(3x)n能被x2整除，则可设1(3x)k(x2)f(x)(f(x)为k1次多项
8、式)，坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。当nk1时，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对nN，1(3x)n能被x2整除.用数学归纳法证明几何问题例3平面上有n(n2，且nN)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线共有f(n)个交点蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。思路点拨本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的
9、变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。证明(1)当n2时，符合条件是两直线只有1个交点，又f(2)2(21)1.当n2时，命题成立(2)假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。则当nk1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k).驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直
10、线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个f(k1)f(k)kk.当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切nN且n2成立用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。5求证：凸n边形对角线条数f(n)(nN，n3)证明：(1)当n3时，即f(3)0时，三角形没有对角线，命题成立(2)假设nk(kN，k3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k).将凸k边形A1A2Ak在其
11、外面增加一个新顶点Ak1，得到凸k1边形A1A2AkAk1，Ak1依次与A2，A3，Ak1相连得到对角线k2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k1边形的一条对角线，则凸k1边形的对角线条数为锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。f(k)k21k1構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。f(k1)，即当nk1时，结论正确根据(1)(2)可知，命题对任何nN，n3都成立6求证：平面内有n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。
12、证明：(1)当n2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立(2)假设当nk时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)那么nk1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k1部分，所以这k1条直线彼此互相分割成k2kk1(k1)2条线段(或射线)，即nk1时，命题成立识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。由(1)(2)知，命题成立1数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正
13、确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：选C数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。2用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。A1 B12C1222 D122223.解析：选D当n1时，左边122223.3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：选A假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢
