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1、第二章DIERZHANG几个重要的不等式1柯西不等式课后篇巩固探究A组1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.2C.2D.4解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)(a+b)2,即(a+b)24,当且仅当a=b=1时等号成立,所以-2a+b2,即a+b的最大值为2.答案:C2.若x2+y2+z2=1,则x+y+2z的最大值等于()A.2B.4C.2D.8解析:由柯西不等式可得12+12+(2)2(x2+y2+z2)(x+y+2z)2,即(x+y+2z)24,当且仅当x=12,y=12,z=22时等号成立,因此x+y+2z2,即x+y+2z的最大值等于2.答案:A3.设a
2、,b,c均为正数,且a+b+c=9,则4a+9b+16c的最小值为()A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得4a+9b+16c=19(a+b+c)4a+9b+16c19a2a+b3b+c4c2=1981=9,当且仅当a2=b3=c4,即a=2,b=3,c=4时等号成立,故所求最小值为9.答案:C4.函数y=x-5+26-x的最大值是()A.3B.5C.3D.5解析:根据柯西不等式,知y=1x-5+26-x12+22(x-5)2+(6-x)2=5,当且仅当6-x=2x-5,即x=265时,等号成立.答案:B5.设a,bR,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为()A.52B.-510
3、C.-50D.-52解析:令=(a,b),=(3,1),则=3a+b,|=a2+b2=5,|=10.由柯西不等式的向量形式可得|,所以|3a+b|510=52,当且仅当a=322,b=22时等号成立,因此-523a+b52,即3a+b的最小值为-52.答案:D6.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则2a+2b+2c的最小值为.解析:因为(a+b+c)2a+2b+2c=(a)2+(b)2+(c)22a2+2b2+2c2a2a+b2b+c2c2=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,所以2a+2b+2c2,故2a+2b+2c的最小值为2.答案:27.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=
4、ab+cd,Q=ma+ncbm+dn,则P与Q的大小关系是.解析:P=ambm+ncdn(am)2+(nc)2bm2+dn2=am+ncbm+dn=Q当且仅当amdn=ncbm时,等号成立.答案:PQ8.已知a,b,m,n均为正实数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.解析:由柯西不等式,得(am+bn)(bm+an)(aman+bmbn)2=mn(a+b)2=2,当且仅当m=n=2时,等号成立.故(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案:29.已知a,b,c为正实数,且满足acos2+bsin2c,求证:acos2+bsin2c.证明由柯西不等式,得aco
5、s2+bsin2(acos)2+(bsin)2cos2+sin2=(acos)2+(bsin)2=acos2+bsin20,2-b0,所以a22-a+b22-b4(2-a)+(2-b)=2,当且仅当a=b=1时等号成立.故原不等式成立.B组1.若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D.611解析:(2x2+y2+3z2)12+1+132x12+y1+3z132=(x+y+z)2=1,2x2+y2+3z2112+1+13=611,当且仅当x=311,y=611,z=211时,等号成立.2x2+y2+3z2的最小值为611.答案:D2.若长方形ABCD是半径
6、为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为()A.2RB.22RC.4RD.42R解析:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为4R2-x2,于是ABCD的周长l=2(x+4R2-x2)=2(1x+14R2-x2).由柯西不等式得l2x2+(4R2-x2)212(12+12)12=22R2=42R,当且仅当x1=4R2-x21,即x=2R时等号成立.此时4R2-x2=4R2-(2R)2=2R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为42R.答案:D3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则3a+2b+c的最大值等于()A.39B.13C.13D
7、.18解析:3a+2b+c=3a+2b+133c3+1+13(a+2b+3c)=39,当且仅当a=8113,b=2726,c=313时等号成立,故最大值为39.答案:A4.设a,b,c为正数,则(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是.解析:(a+b+c)4a+9b+36c=(a)2+(b)2+(c)22a2+3b2+6c2a2a+b3b+c6c2=(2+3+6)2=121.当且仅当a2=b3=c6时等号成立.答案:1215.已知a,bR+,且a+b=1,则12a+1b的最小值是.解析:因为a,bR+,且a+b=1,所以12a+1b=(a+b)12a+1b,由柯西不等式得(a+b)12a+1
8、ba12a+b1b2=22+12=32+2,当且仅当ab=b2a且a+b=1,即a=2-1,b=2-2时,12a+1b取最小值32+2.答案:32+26.已知x2+y2=2,且|x|y|,求1(x+y)2+1(x-y)2的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=u+v2,y=u-v2.x2+y2=2,(u+v)2+(u-v)2=8,u2+v2=4.由柯西不等式,得1u2+1v2(u2+v2)4,当且仅当u2=v2=2,即x=2,y=0或x=0,y=2时,1(x+y)2+1(x-y)2的最小值是1.7.导学号35664034已知x,y,zR,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解
9、由柯西不等式得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2),所以1614(x2+y2+z2).因此x2+y2+z287,当且仅当x=y-2=z-3,即当x=27,y=-47,z=-67时,x2+y2+z2的最小值为87.8.导学号35664035求函数y=x2-2x+3+x2-6x+14的最小值.解y=(x-1)2+2+(3-x)2+5.根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)2+2(3-x)2+5(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)(3-x)+10=(x-1)+(3-x)2+(2+5)2=11+210.当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=32+52+5时,等号成立.此时ymin=11+210=(10+1)2=10+1.
