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1、8.2余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.知识链接1.以下问题不能用余弦定理求解的是.(1)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角.(2)已知两角和一边,求其他角和边.(3)已知一个三角形的二条边及其夹角,求其他的边和角.(4)已知一个三角形的三条边,解三角形.答案(2)2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是.(1)在ABC中,若a2b2c2,则ABC为直角三角形.(2)在ABC中,若a2b2c2,则ABC为钝角三角形.答案(1)(3)预习导引1.正弦定理及其变形(1)2R.(2
2、)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.2.余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccosA,b2c2a22cacosB,c2a2b22abcosC.(2)cosA;cosB;cosC.(3)在ABC中,c2a2b2C为直角;c2a2b2C为钝角;c2a2b2C为锐角.3.三角变换公式(1)cos ()coscossinsin;(2)cos ()coscossinsin;(3)cos2cos2sin22cos2112sin2.要点一正弦、余弦定理的综合应用例1如图所示,在四边形ABCD中,ADCD,AD10,AB14,BDA60,BCD135,求BC的长.解在ABD中,AD10,AB
3、14,BDA60,设BDx,由余弦定理,得AB2AD2BD22ADBDcosBDA,142102x2210xcos60,即x210x960,解得x116,x26(舍去),BD16.ADCD,BDA60,CDB30.在BCD中,由正弦定理得,BC8.规律方法余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理,还是余弦定理,必要时也可列方程(组)求解.同时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC
4、,求b.解方法一在ABC中,sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有a3c,化简并整理得2(a2c2)b2.又由已知a2c22b,4bb2.解得b4或b0(舍).方法二由余弦定理得:a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0.所以b2ccosA2.又sinAcosC3cosAsinC,sinAcosCcosAsinC4cosAsinC,sin (AC)4cosAsinC,即sinB4cosAsinC,由正弦定理得sinBsinC,故b4ccosA.由解得b4.要点二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在ABC中,有(1)abcosCccosB;(2)bccosA
5、acosC;(3)cacosBbcosA;这三个关系式也称为射影定理,请给出证明.证明方法一(1)由正弦定理得b2RsinB,c2RsinC,bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB2R(sinBcosCcosBsinC)2Rsin(BC)2RsinAa.即abcosCccosB.同理可证(2)bccosAacosC;(3)cacosBbcosA.方法二(1)由余弦定理得cosB,cosC,bcosCccosBbca.abcosCccosB.同理可证(2)bccosAacosC;(3)cacosBbcosA.规律方法(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形
6、式上一般有:左右;右左;左中右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,求证:.证明方法一左边,右边,等式成立.方法二因为右边左边.等式成立.要点三利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3在ABC中,已知(abc)(bca)3bc,且sinA2sinBcosC,试确定ABC的形状.解由(abc)(bca)3bc,得b22bcc2a23bc,即b2c2a2bc,cosA,A,又sinA2sinBcosC,由正弦、余弦定理
7、,得a2b,b2c2,bc,ABC为等边三角形.规律方法题中边的大小没有明确给出,而是通过一个关系式来确定的,可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.跟踪演练3在ABC中,若B60,2bac,试判断ABC的形状.解方法一根据余弦定理得b2a2c22accosB.B60,2bac,2a2c22accos60,整理得(ac)20,ac.又2bac,2b2a,即ba.ABC是正三角形.方法二根据正弦定理,2bac可转化为2sinBsinAsinC.又B60,AC120.C120A,2sin60sinAsin (120A),整理得sin (A3
8、0)1,0A120,30A300)则有cosC.2.在ABC中,若2cosBsinAsinC,则ABC的形状一定是 ()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析2cosBsinAsinC,2ac,ab.故ABC为等腰三角形.3.在ABC中,BCa,ACb,a、b是方程x22x20的两根且2cos(AB)1,则AB.答案解析设ABc,cosC.又cosC,c210,c,即AB.4.在ABC中,若B30,AB2,AC2,则满足条件的三角形有几个?解设BCa,ACb,ABc,由余弦定理,得b2a2c22accosB,22a2(2)22a2cos30,即a26a80,解得
9、a2或a4.当a2时,三边为2,2,2可组成三角形;当a4时,三边为4,2,2也可组成三角形.满足条件的三角形有两个.1.已知两边及其中一边的对角,解三角形,一般情况下,利用正弦定理求出另一边所对的角,再求其他的边或角,要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解,只需解一个一元二次方程,即可求出边来,比较两种方法,采用余弦定理较简单.2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平
10、方,通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.一、基础达标1.若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段()A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形答案B解析因三角形最大边对应的角的余弦值cos0,所以能组成锐角三角形.2.在ABC中,AB5,AC3,BC7,则等于()A.B.C.D.15答案B解析cosA,|cosA53,故选B.3.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案A解析设直角三角形三边为a,b,c,且a2b2c2
11、,则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20,最大边cx所对的最大角为锐角.4.已知a,b,c为ABC的三边,B120,则a2c2acb2等于()A.0B.1C.1D.2答案A解析b2a2c22accosBa2c22accos120a2c2ac.a2c2acb20.5.在ABC中,若a2b2bc,sinC2sinB,则A.答案30解析由sinC2sinB,根据正弦定理,得c2b,代入a2b2bc,得a2b26b2,即a27b2.由余弦定理得cosA,又0A0,0A180,0Aa,cb,角C最大.由余弦定理,得c2a2b22abcosC,即3791624cosC,cosC,0C0,a,最大边为2a1.三角形为钝角三角形,a2(2a1)2(2a1)2化简得0a2a1,a2,2a8.11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinAcsinCasinCbsinB.(1)求B;(2)若A75,b2