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1、考点规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系考点规范练B册第33页基础巩固1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A解析设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m1).因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,所以|m|5=5,即|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.2.已知圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4,
2、圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.7B.8C.10D.13答案A解析圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即(-6-2)2+(-5-1)2-3=7.故选A.3.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.4答案D解析圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,直线3
3、x-ay-11=0过圆心C(1,-2),3+2a-11=0,解得a=4,a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=124+16=5,圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2r2-d2=25-1=4.故选D.4.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.52B.102C.152D.202答案B解析圆x2+y2-2x-6y=0变形为(x-1)2+(y-3)2=10.则圆心为P(1,3),半径r=10.因为点E(0,1),所
4、以|PE|=12+(3-1)2=5.过圆x2+y2-2x-6y=0内点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,所以|AC|=2r=210,|BD|=2r2-|PE|2=210-5=25,且ACBD,所以四边形ABCD的面积为S=12|AC|BD|=1221025=102.5.一束光线从点(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是.答案4解析作出已知圆C关于x轴对称的圆C,如图所示.则圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为1,则最短距离d=|AC|-r=(-1-2)2+(1+3)2-1=5-1=4.6.过点P
5、(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PAPB=.答案32解析如图,OA=1,AP=3,又PA=PB,PB=3.APO=30.APB=60.PAPB=|PA|PB|cos 60=3312=32.7.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为.答案4解析因为圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),r2=a2+2,圆心到直线的距离d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为(2+a2)=4.8.若直线3x-4y+5=0与圆x2
6、+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则r=.答案2解析如图,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=532+(-4)2=1,故圆的半径r=1cos60=2.9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求直线l的倾斜角.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为12+(1-1)2=10,解得-255m255,故x0=31+m2,且53x03.因为m=y0x0,所以x0=31+y
7、0x02,整理得x0-322+y02=94.所以M的轨迹C的方程为x-322+y2=94530)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交答案D解析圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a0),则圆心为(0,a),半径R=a,圆心到直线x+y=0的距离d=a2,圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,2R2-d2=2a2-a22=2a22=22,即a22=2,即a2=4,a=2,则圆心为M(0,2),半径R=2,圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为N(1,1),
8、半径r=1,则|MN|=12+12=2,R+r=3,R-r=1,R-rMN0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|OA+OB|33|AB|,则k的取值范围是()A.(3,+)B.2,+)C.2,22)D.3,22)答案C解析设AB中点为D,则ODAB,|OA+OB|33|AB|,2|OD|33|AB|,|AB|23|OD|.|OD|2+14|AB|2=4,|OD|21.直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,|OD|2|OD|21,4|-k|221.k0,2k0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四
9、边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为.答案2解析根据题意画出图形如下图所示.由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2SPBC,四边形PACB的面积的最小值为2,SPBC的最小值S=1=12rd(d是切线长),dmin=2,此时|CP|min=5.圆心到直线的距离就是PC的最小值,51+k2=5,又k0,k=2.14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.解因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为1或切线过原点.当k=1时,设切线方程为y=-x
10、+b 或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由|-k-2|k2+1=2,得k=26.所以此时切线方程为y=(26)x.综上可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M
11、:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-
12、1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|26-7+m|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,实数t的取值范围是2-221,
