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1、（全国卷）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，则（ ）ABCD2下列命题中正确的是（ ）A若为真命题，则为真命题B若，则恒成立C命题“，”的否定是“，”D命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”3设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4函数的图象可能是（ ）ABCD5已知函数的最大值为3，最小值为两条对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）ABCD6设，则（ ）ABC
2、D7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）ABCD8已知向量，则与的夹角为（ ）ABCD9在中，分别是角，的对边，则角（ ）ABCD10执行如图所示程序框图，输出的（ ）A25B9C17D2011已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ）ABCD12已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是_（填写正确命题对应的序号）若，则；若，则；若，则；若，则，14若，满足约束条件，则的最小值为_15 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于时
3、，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为_16已知中，点是边的中点，线段，的面积，则的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，角、所对的边分别是、，角、成等差数列，（1）若，求的值；（2）求的最大值18（本小题满分12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没
4、收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取人参加年北京冬奥会志愿者宣传活动（i）问男、女学生各选取了多少人？（ii）若从这人中随机选取人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的人中女生人数为，写出的分布列，并求附：，其中19（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面是梯形，（1）求证：平面平面；（2）设为棱上一点，试确定的值使得二面角为20.（本小题满分12分）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为
5、定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由21（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求23（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）解不等式；（2
6、）若不等式有解，求实数的取值范围2019全国卷高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】D【解析】，则故选D2【答案】B【解析】令，恒成立，在单调递增，B为真命题或者排除A、C、D故选B3【答案】A【解析】若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A4【答案】C【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，排除A；当时，排除D故选C5【答案】B【解析】由，又，又，故选B6【答案】D【解析】，由在上为增函数，故选D
7、7【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体容易算得底面面积，所以其体积，应选答案D8【答案】A【解析】设向量与向量的夹角为，则，故选A9【答案】B【解析】由，可得，根据余弦定理得，故选B10【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为，；，；，退出循环，输出故选C11【答案】A【解析】设切点为，则切线方程为：，切线过点代入得：，即方程有两个解，则有或故选A12【答案】D【解析】画出的图象，由且得：，令，则，则函数在区间上单调递增，即，的取值范围是（以为变量时，注意的取值范围为）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【
8、解析】如图所示，设，满足条件，但是与不平行，故不正确；假设，则满足条件，但是与不垂直，故不正确；由面面垂直的判定定理，若，则，故正确；若，由面面垂直的性质定理知，时，故不正确综上可知：只有正确故答案为14【答案】【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最小值，15.【答案】【解析】由两点间的距离公式得为点到点、的距离之和，即求点到点、的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，容易求得最小值为16【答案】【解析】设，则，在中，由得，把代入得：，由辅助角公式得，即，则（，时取等号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）【答
9、案】（1）4；（2）【解析】（1）由角，成等差数列，得，又，得又由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理得，由，知当，即时，18（本小题满分12分）【答案】（1）有的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）见解析【解析】（1）因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的人中，男生有人，女生有人（ii）由题意可知，的可能取值有，的分布列是：19（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明平面，平面，平面，在梯形中，过点作作于，在中，又在中，平面，平面，平面，平面，由，平面，平面，平面，平面，平面平面
10、；（2）以为原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系(如图) 则，令，平面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，即，不妨令，得，二面角为，解得，在棱上，故为所求20.（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）四边形能为平行四边形，当的斜率为或时，四边形为平行四边形【解析】（1）设直线，将代入，得，故，于是直线的斜率，即，所是命题得证 （2）四边形能为平行四边形直线过点，不过原点且与C有两个交点的充要条件是且由（1）得的方程为设点的横坐标为由，得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此，四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是解得，2，当的斜率为或时，四边形为平行四边形21
11、（本小题满分12分）【答案】（1）当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为；（2）【解析】（1）的定义域为，令，则，时，即，方程两根为，当时，恒成立，的增区间为；当时，时，的增区间为；当时，当时，单调递减，当时，单调递增；综上，当时，的增区间为；当时，的减区间为，增区间为（2）时，恒成立，即，令，当时，单调递减；当时，单调递减；，则实数的取值范围时请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分10分）【答案】（1），；（2）【解析】（1）把直线的参数方程化为普通方程为由，可得，曲线的直角坐标方程为（2）直线的倾斜角为，直线的倾斜角也为，又直线过点，直线的参数方程为(为参数)，将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点，对应的参数分别为，由一元二次方程的根与系数的关系知，23（本小题满分10分）【答案】（1）；（2）或【解析】（1），或或，解得或或无解，综上，不等式的解集是（2），当时等号成立不等式有解，或，即或，实数的取值范围是或
