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1、第 1 页 共 14 页 高考数学二模试卷 文科 高考数学二模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 8 小题 共 40 0 分 1 已知全集 U 0 1 2 集合 A x x2 x 0 则 UA A 2 B 0 1 C 0 2 D 1 2 2 某程序的框图如图所示 执行该程序 若输入的 x 值为 7 则输出的 y 值为 A 2B 1C D 2 3 若实数 x y 满足则 2x y 的最小值是 A 2B 1C 0D 4 4 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积是 A 12 B 2 C D 5 在 ABC 中 a 7 c 3 sinC 的值为 A B C D 第 2 页
2、 共 14 页 6 当 c 1 时 使不等式 logac log3c 成立的正数 a a 1 的值为 A B C 2D 4 7 a 4 或 a 0 是 函数 f x ax2 ax 1 存在零点 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 8 已知集合 M x y y f x 若对于 x1 y1 M x2 y2 M 使得 x1x2 y1y2 0 成立 则称集合 M 是 互垂点集 给出下列四个集合 M2 x y y lnx M4 x y y sinx 1 其中是 互垂点集 集合的为 A M1B M2C M3D M4 二 填空题 本大题共 6 小题 共 3
3、0 0 分 9 10 已知向量 满足 1 2 且 则 与 的夹角为 11 为了解中学生寒假从图书馆借书的情况 一个调研小组在 2019 年寒假某日随机选 取了 100 名在市级图书馆借书的中学生 如表记录了他们的在馆停留时间 分为 0 15 15 30 30 45 45 60 和 60 以上 单位 分钟 五段统计 现 在需要从 15 30 30 45 45 60 单位 分钟 这三段时间中按分层抽样 抽取 16 人做调查 则从 30 45 这段时长中抽取的人数是 停留时长 单位 分钟 频数频率 0 15 20 02 15 30 a0 05 30 45 b0 10 45 60 250 25 60
4、以上580 58 合计1001 00 12 过原点作圆 x2 y 6 2 9 的两条切线 则两条切线所成的锐角 13 把函数 图象上的所有点向左平移 a a 0 个单位长度后 得到函数 y sin2x 的图象 则 a 的最小值为 14 已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点和双曲线 的右焦点 F2重合 则抛物线 的标准方程为 P 为抛物线和双曲线的一个公共点 P 到双曲线左焦点 F1的 距离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 0 分 15 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且 b2 2 b5 16 a1 2b1 a3 b4 求 bn 的通项公式 设 cn an bn 求数列
5、 cn 的前 n 项和 第 3 页 共 14 页 16 已知函数 求 f x 的最小正周期 求 f x 在区间 上的最大值和最小值 17 国际上常用恩格尔系数 食品支出总额占个人消费支出总额的比重 反映一个国家 或家庭生活质量的高低 恩格尔系数越低 生活质量越高 联合国根据恩格尔系数 的大小 对世界各国的生活质量有一个划分标准如下 恩格尔系数 生活质量 大于等于 60 贫穷 50 60 温饱 40 50 小康 30 40 相对富裕 20 30 富裕 小于 20 极其富裕 下表记录了我国在改革开放后某市 A B C D E 五个家庭在五个年份的恩格尔 系数 家庭恩格尔系数 年份 A B C D
6、E 1978 年57 7 52 5 62 3 61 0 58 8 1988 年54 2 48 3 51 9 55 4 52 6 1998 年44 7 41 6 43 5 49 0 47 4 2008 年37 9 36 5 29 2 41 3 42 7 2018 年28 6 27 7 19 8 35 7 34 2 从以上五个年份中随机选取一个年份 在该年份五个家庭的生活质量都相同 的概率为 将结果直接填写在答题卡的相应位置上 从以上五个家庭中随机选出两个家庭 求这两个家庭中至少有一个家庭在 2008 年和 2018 年均达到 相对富裕 或更高生活质量的概率 如果将 贫穷 温饱 小康 相对富裕 富
7、裕 极其 富裕 六种生活质量分别对应数值 0 1 2 3 4 5 请写出 A B C D E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭 结论不要 第 4 页 共 14 页 求证明 18 如图 AE 平面 ABC CD AE AC BC AE 2CD 2 M 为棱 BE 上一点 平面 CDM 与棱 AB 交于点 N 求证 BC 平面 ACDE 求证 CD MN 当四边形 CDMN 为矩形时 求四棱锥 B CDMN 的体积 19 设函数 若点 1 1 在曲线 y f x 上 求在该点处曲线的切线方程 若 f x 2 恒成立 求 a 的取值范围 20 已知椭圆 C 的右焦点为
8、过 F 的直线 l 与 C 交于 A B 两点 当 l 与 x 轴垂直时 线段 AB 长度为 1 O 为坐标原点 求椭圆 C 的方程 若对任意的直线 l 点 M m 0 总满足 OMA OMB 求实数 m 的值 在 的条件下 求 MAB 面积的最大值 第 5 页 共 14 页 第 6 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 全集 U 0 1 2 集合 A x x2 x 0 0 1 则 UA 2 故选 A 由题意求出集合 A 然后直接写出它的补集即可 本题考查集合的基本运算 补集的求法 考查计算能力 2 答案 C 解析 解 若输入的 x 值为 7 则 x 0 否 x 7
9、2 5 x 0 否 x 5 2 3 x 0 否 x 3 2 1 x 0 否 x 1 2 1 x 0 是 y 2 1 故选 C 根据程序框图进行模拟运算即可 本题主要考查程序框图的识别和应用 利用模拟运算法是解决本题的关键 比较基础 3 答案 B 解析 解 画出 可行域 得在 直线 x y 2 0 与直线 x y 0 的交点 A 1 1 处 目标函数 z 2x y 的最小值为 1 故选 B 本题主要考查线性规划问题 由线性约束条件画 出可行域 然后求出目标函数的最小值 本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的 线性规划问题 在线性规划问题中目标函数取得 最值的点一定是区域的顶点和边界 在边界上的
10、值也等于在这个边界上的顶点的值 故 在解答选择题或者填空题时 只要能把区域的顶点求出 直接把顶点坐标代入进行检验 即可 4 答案 D 解析 解 由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱 其中底面是等腰直角三角形 两条直角边长都为 1 高为 1 该几何体的表面积 S 2 1 1 2 1 1 1 3 故选 D 由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱 其中底面是等腰直 角三角形 两条直角边长都为 1 高为 1 由此能求出该几何体的表面积 本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积 是基础题 解题时要认真审题 仔细解 答 注意空间想象能力的培养 第 7 页 共 14 页 5 答案 B 解析 解 根据题意 AB
11、C 中 a 7 c 3 有 则 sinC 故选 B 根据题意 由正弦定理可得 变形可得 sinC 代入数据计算可得答案 本题考查正弦定理的应用 关键是掌握正弦定理的形式 属于基础题 6 答案 C 解析 解 c 1 时 使不等式 logac log3c 成立 b a 1 时 不等式成立 故 a 可以取 2 故选 C 由对数不等式的解法得 由 logac logbc 可得 即 b a 1 时 不等式成立 问题得以解决 本题考查了对数不等式的解法 属简单题 7 答案 B 解析 分析 函数零点的判定方法得当 a 0 时 无根 当 a 0 时 a2 4a 0 解得 a 0 或 a 4 运 用充分必要条件
12、的定义判断即可 本题考查了函数零点的判定方法 充分必要条件的定义 属于容易题 运算量小 解答 解 函数 f x ax2 ax 1 存在零点 即 f x ax2 ax 1 0 有实数根 当 a 0 时 无根 当 a 0 时 a2 4a 0 解得 a 0 或 a 4 根据充分必要条件的定义可判断 a 4 或 a 0 是 函数 f x ax2 ax 1 存在零点 的必要不充分条件 故选 B 函数零点的判定方法得当 a 0 时 无根 当 a 0 时 a2 4a 0 解得 a 0 或 a 4 运 用充分必要条件的定义判断即可 本题考查了函数零点的判定方法 充分必要条件的定义 属于容易题 运算量小 8 答
13、案 D 解析 解 设 A x1 y1 B x1 y1 x1x2 y1y2 0 即 OA OB 由题可知 在一个点集中 若对于 A x1 y1 M B x2 y2 M 使得 OA OB 第 8 页 共 14 页 成立 则这个集合就是 互垂点集 对于集合 M1 取 A 0 1 要使 OA OB 则点 B 必须在 x 轴上 而集合 M1中没有 点会在 x 轴上 所以 M1不是 互垂点集 同理可判定 M2 M3也不是 互垂点集 即排除 A B C 故选 D 根据 x1x2 y1y2 0 确定 A x1 y1 与 B x2 y2 两点的位置关系 OA OB 下面只要判断四个集合所表示的点集是否满足 对于
14、 A x1 y1 M B x2 y2 M 使得 OA OB 成立即可 此题考查了平面向量数量积的运用 利用了排除法 理解 若对于 A x1 y1 M B x2 y2 M 使得 OA OB 成立 则这个集合就是 互垂点集 是解本题的关键 9 答案 1 i 解析 解 1 i 故答案为 1 i 将复数的分子 分母同时乘以 1 i 然后利用平方差公式将分母展开即得到结果 本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子 分母同时乘以分母的共轭复数 然后 利用多项式的乘法法则展开即可 属于基础题 10 答案 60 解析 解 由 1 2 0 0 即 12 1 2 cos 0 解得 cos 又 0 180 与 的
15、夹角 是 60 故答案为 60 根据平面向量的数量积运算 求出 cos 的值 即可求出夹角 的大小 本题考查了平面向量数量积的运算问题 是基础题 11 答案 4 解析 解 由图表可知学生在馆停留时间落在 15 30 30 45 45 60 的频率 之比为 0 05 0 10 0 25 1 2 5 从 15 30 30 45 45 60 单位 分钟 这三段时间中按分层抽样抽取 16 人 做调查 则从 30 45 这段时长中抽取的人数是 4 故答案为 4 由落在 15 30 30 45 45 60 的频率之比为 0 05 0 10 0 25 1 2 5 再结 合频率之 比运算可得解 本题考查了分层
16、抽样方法 属简单题 12 答案 600 第 9 页 共 14 页 解析 解 如图 OA OB 为圆的两条切线 在 Rt OAC 中 CA 3 CO 6 COA 30 同理 COB 30 故 AOB 60 故答案为 60 结合图象可得 本题考查了圆的切线方程 属基础题 13 答案 解析 解 把函数图象上的所 有点向左平移 a a 0 个单位长度后 可得 y sin 2x 2a 的图象 再根据得到函数 y sin2x 的图象 则有 2a 0 解得 a 即 a 的最小值为 故答案为 由题意利用函数 y Asin x 的图象变换规律 得出结论 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律 属于基础题 14 答案 y2 8x 7 解析 解 抛物线 y2 2px p 0 的焦点和双曲线的右焦点 F2重合 可得 就是 p 4 所以抛物线方程为 y2 8x 由 解得 x 3 所以 P 3 2 P 到双曲线左焦点 F1的距离为 7 故答案为 y2 8x 7 求出双曲线的焦点坐标 得到抛物线的焦点坐标 即可求出抛物线方程 求出两条曲线 的焦点坐标 利用双曲线定义求解 P 到双曲线左焦点 F1的距离
