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1、第 1 页 共 12 页 高考数学二模试卷 文科 高考数学二模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 8 小题 共 40 0 分 1 已知集合 U x Z x2 9 集合 A 2 2 则 UA A 1 0 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 2 已知复数 z 1 a 1 i i 为虚数单位 a 为实数 在复平面内对应的点位于第二 象限 则复数 z 的虚部可以是 A B C D 3 已知某程序框图如图所示 则执行该程序后输出的 a 的值是 A 1B C 1D 2 4 已知实数 x R 则 x 0 是 ln x 1 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必
2、要条件D 既不充分也不必要条件 5 在平行四边形 ABCD 中 AB CD 则 A 3B 2C 3D 4 6 若 x y 满足且 2x y 的最小值为 1 则实数 m 的值为 A 5B 1C 1D 5 7 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的最长棱 的长度为 A B 2 C 2 D 3 第 2 页 共 12 页 8 一次数学竞赛 共有 6 道选择题 规定每道题答对得 5 分 不答得 1 分 答错倒扣 1 分 一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛 这个小组的人数与总得 分情况为 A 当小组的总得分为偶数时 则小组人数一定为奇数 B 当小组的总得分为奇数时 则小组人数一定为偶数 C 小组
3、的总得分一定为偶数 与小组人数无关 D 小组的总得分一定为奇数 与小组人数无关 二 填空题 本大题共 6 小题 共 30 0 分 9 已知幂函数 f x x 是实数 的图象经过点 则 f 4 的值为 10 为了落实 回天计划 政府准备在回龙观 天通苑地区各建一所体育文化公园 针对公园中的体育设施需求 某社区采用分层抽样的方法对于 21 岁至 65 岁的居民 进行了调查 已知该社区 21 岁至 35 岁的居民有 840 人 36 岁至 50 岁的居民有 700 人 51 岁至 65 岁的居民有 560 人 若从 36 岁至 50 岁的居民中随机抽取了 100 人 则这次抽样调查抽取的总人数是 1
4、1 能说明 设 a b 为实数 若 a2 b2 0 则直线 ax by 1 0 与圆 x2 y2 1 相切 为假 命题的一组 a b 的值依次为 12 等差数列 an 满足 a2 a5 a9 a6 8 则 a5 若 a1 16 则 n 时 an 的前 n 项和取得最大值 13 已知双曲线 若抛物线的焦点到双曲线的渐近 线的距离为 1 则抛物线的方程为 14 已知函数 f x cos x 0 0 的最小正周期为 且对 任意的实数 x 都成立 则 的值为 的最大值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 72 0 分 15 在等差数列中 且 求等差数列的通项公式 设各项均为正数的等比数列满足 求数列
5、的前 n 项和 16 在 ABC 中 AC 4 求 ABC 的大小 若 D 为 BC 边上一点 求 DC 的长度 第 3 页 共 12 页 17 某学校为了解学生的体质健康状况 对高一 高二两个年级的学生进行了体质测试 现从两个年级学生中各随机选取 20 人 将他们的测试数据 用茎叶图表示如图 国家学生体质健康标准 的等级标准如表 规定 测试数据 60 体质健康为合 格 等级优秀良好及格不及格 测试数据 90 100 80 89 60 79 0 59 从该校高二年级学生中随机选取一名学生 试估计这名学生体质健康合格的 概率 从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生 求选取的两名学生的 测
6、试数据平均数大于 95 的概率 设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为 高二学生测试数据 的平均数和方差分别为 试估计 的大小 只需写出结论 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 平面 PCD 平面 ABCD AB 2 BC 1 E 为 PB 中点 求证 PD 平面 ACE 第 4 页 共 12 页 求证 PD 平面 PBC 求三棱锥 E ABC 的体积 19 已知椭圆的离心率为 经过点 B 0 1 设椭圆 G 的 右顶点为 A 过原点 O 的直线 l 与椭圆 G 交于 P Q 两点 点 Q 在第一象限 且 与线段 AB 交于点 M 求椭圆 G 的标准方程 是否存
7、在直线 l 使得 BOP 的面积是 BMQ 的面积的 3 倍 若存在 求直 线 l 的方程 若不存在 请说明理由 20 已知函数 f x x2 a 1 x 1 ex 若曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线与 x 轴平行 求 a 的值 若 f x 在 x 1 处取得极大值 求 a 的取值范围 当 a 2 时 若函数 g x mf x 1 有 3 个零点 求 m 的取值范围 只 需写出结论 第 5 页 共 12 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 集合 U x Z x2 9 x Z 3 x 3 2 1 0 1 2 集合 A 2 2 UA 1 0 1 故选 A 求出集合 U 集
8、合 A 补集定义能求出 UA 本题考查补集的求法 考查补集定义 不等式性质等基础知识 考查运算求解能力 是 基础题 2 答案 D 解析 分析 本题考查了复数的基本概念 考查了复数的代数表示法及其几何意义 是基础题 化 z 为 a bi a b R 的形式 由实部小于 0 且虚部大于 0 求得 a 的范围 则答案可 求 解答 解 复数 z 1 a 1 i 1 a ai 在复平面内对应的点位于第二象限 即 0 a 1 故选 D 3 答案 D 解析 解 程序运行过程中 各变量的值如下表示 是否继续循环 a i 循环前 2 1 第一圈 是 2 第二圈 是 1 3 第三圈 是 2 4 第 9 圈 是 2
9、 10 第 10 圈 否 故最后输出的 a 值为 2 故选 D 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作用是 利用循环计算变量 a 的值并输出 即可得解 本题主要考查了循环结构 写程序的运行结果 是算法这一模块最重要的题型 属于基 础题 4 答案 B 解析 分析 本题考查了对数函数的单调性 不等式的解法 简易逻辑的判定方法 考查了推理能力 第 6 页 共 12 页 与计算能力 属于基础题 根据 ln x 1 0 0 x 1 1 1 x 0 再集合充分条件必要条件的定义判断即 可求解 解答 解 ln x 1 0 0 x 1 1 1 x 0 x 0 是 ln x 1
10、 0 的必要不充分条件 故选 B 5 答案 C 解析 解 在平行四边形 ABCD 中 AB CD 4 1 0 3 则 4 0 1 3 3 故选 C 利用已知条件表示所求数量积的两个向量 然后利用数量积的运算法则求解即可 本题考查平面向量的数量积的运算 向量的加减运算的求法 考查计算能力 6 答案 B 解析 解 画出满足条件的平面区域 如图 所示 由 解得 A 2m 3 m 由 z 2x y 得 y 2x z 显然直线过 A 2m 3 m 时 z 最小 4m 6 m 1 解得 m 1 故选 B 画出满足条件的平面区域 求出角点的坐标 由 z 2x y 得 y 2x z 显然直线过 A 1 2 m
11、 时 z 最小 代入求出 m 的值即可 本题考查了简单的线性规划问题 考查数形结合思想 是一道中档题 7 答案 D 解析 解 根据三视图可知几何体是一个四棱锥 底面是一个直角梯形 AD AB AD BC AD AB 2 BC 1 PA 底面 ABCD 且 PA 2 该四棱锥最长棱的棱长为 PC 3 故选 D 由三视图知该几何体是一个四棱锥 由三视图求出几何元素的长度 判断出位置关系 由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长 本题考查几何体三视图的应用 由三视图正确复原几何体是解题的关键 考查空间想象 第 7 页 共 12 页 能力 8 答案 C 解析 分析 本题主要考查合情推理的应用 属于中档题 计算
12、出总分为偶数 答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键 先计算一个人 得总分是偶数 若 m 题不答 则总分少 4m 分 为偶数 若 n 题答错 则总分少 6n 分 为偶数 根据偶数的运算性质进行判断即可 解答 解 每个人得的总分是 6 5 30 在满分的基础上 若 1 题不答 则总分少 4 分 若 1 题答错 则总分少 6 分 即在满分的基础上若 m 题不答 则总分少 4m 分 若 n 题答错 则总分少 6n 分 则每个人的得分一定是偶数 则小组的总得分也是偶数 与小组人数无关 故选 C 9 答案 2 解析 解 幂函数 f x x 的图象过点 所以 f 2 2 解得 所以 f x 则 f
13、4 2 故答案为 2 由幂函数 f x x 的图象过点求出 的值 写出 f x 的解析式 再求 f 4 的值 本题考查了幂函数的定义与应用问题 是基础题 10 答案 300 解析 解 这次抽样调查抽取的总人数是 300 故答案为 300 根据分层抽样是按比例抽样列式可得 本题考查了分层抽样 属基础题 11 答案 1 1 答案不唯一 解析 解 设 a b 为实数 若 a2 b2 0 则直线 ax by 1 0 与圆 x2 y2 1 相切 若为真命题 可得 1 即为 a2 b2 1 若为假命题 只要 a2 b2 1 要说明 设 a b 为实数 若 a2 b2 0 则直线 ax by 1 0 与圆
14、x2 y2 1 相切 为假命题的一组 a b 的值依次可为 1 1 故答案为 1 1 由直线和圆相切的条件 d r 求得 a2 b2 1 若为假命题 只要 a2 b2 1 取值 a 1 b 1 即可 本题考查命题的真假判断 以及直线和圆相切的条件 d r 考查运算能力 属于基础 题 第 8 页 共 12 页 12 答案 4 6 解析 解 等差数列 an 满足 a2 a5 a9 a6 8 所以 3a1 13d a1 5d 8 即 a5 4 a1 16 所以 4d a5 a1 4 16 所以 d 3 令 解得 n 6 所以 an 的前 6 项和取得最大值 故填 4 6 将 a2 a5 a9 a6
15、8 中的项用 a1和 d 表示 即可得到 a5 4 又因为 a1 16 可以计算 数列 an 的正项 即可得到 an 的前 n 项和取得最大值时的 n 本题考查了等差数列的通项公式 等差数列的前 n 项和的最值问题 属于中档题 13 答案 x2 8y 解析 分析 本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用 点到直线的距离公式的应用 考查计算能 力 求出双曲线的渐近线方程 抛物线的焦点坐标 利用点到直线的距离公式求解即可 解答 解 双曲线 的渐近线 x y 0 抛物线的焦点坐标为 0 抛物线 C2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2 可得 1 解得 p 4 抛物线 C2
16、x2 8y 故答案为 x2 8y 14 答案 2 解析 解 函数 f x cos x 0 0 的最小正周期为 2 对任意的实数 x 都成立 cos x cos 恒成立 故 cos 1 故 2k k Z 2k 故 的最大值为 故答案为 2 第 9 页 共 12 页 由题意可得余弦函数的最小正周期为为 可得 的值 再根据题意 cos 1 结合 0 求得 的最大值 本题主要考查余弦函数的周期性和最小值 函数的恒成立问题 属于基础题 15 答案 解 设数列 an 的公差为 d 由已知 解得 所以 an 4n n N 设数列 bn 的公比为 q 由已知 解得或 舍 所以 bn 所以 bn an 2n 2 4n Sn 2 1 4 20 8 21 12 2n 2 4n 2 1 20 21 2n 2 4 8 12 4n 解析 本题考查等差数列以及等比数列的应用 数列求和的方法 考查转化首项以及 计算能力 利用等差数列 an 的通项公式结合已知条件求出首项与公差然后求解通项公式 设各项均为正数的等比数列 bn 满足 b4 a1 b6 a4 求出公比与首项 利用分组 求和求数列 bn an 的前 n 项和
