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1、当、两点中有一点在原点时,不妨设点在原点,如图,|;当、两点都不在原点时,（1）如图,点、都在原点的右边,;（2）如图,点、都在原点的左边,（3）如图,点、在原点的两边,;综上,数轴上、两点之间的距离.请回答:数轴上表示和的两点之间的距离是_,数轴上表示和的两点之间的距离是_,数轴上表示和的两点之间的距离是_;数轴上表示和的两点和之间的距离是_,如果,那么为_;当代数式取最小值时,相应的的取值范围是_.（南京市中考题）思维方法天地11.已知,且,那么_.（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点表示的数是,点表示的数是,且、两点的距离为,则_.（“五羊杯”竞赛题）13.已知,那么_.（北京市
2、“迎春杯”竞赛题）14.（1）的最小值为_.（“希望杯”邀请赛试题）（2）的最小值为_.（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数、在数轴上对应的位置如图所示:,则代数式的值为（ ）.A.B.C.D.（“希望杯”邀请赛试题）16.若,则的值为（ ）.A.B.C.D.（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点、所对应的数、都不为,且是的中点.如果,那么原点的位置在（ ）.A.线段上B.线段的延长线上.iC.线段上D.线段的延长线上!（江苏省竞赛题）18.设,则的最小值为（ ）.A.B.C.D.（重庆市竞赛题）19.已知点在数轴上对应的数为,点对应的数为,且,、之间的距离记作.（1）求线段的长;（2）设
3、点在数轴上对应的数为,当时,求的值;（3）若点在的左侧,、分别是的中点,当点在的左侧移动时,式子的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由.20.已知,且、都不等于,求的所有可能值.;（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设、为有理数,比较与的大小.（2）已知、是有理数,且,求的值.（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点、对应的数分别为,点为数轴上一动点,其对应的数为.（1）若点到点、点的距离相等,求点P对应的数.:（2）数轴上是否存在点,使点到点、点的距离之和为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.（3）当点以每分钟个单位长的速度从点向左
4、运动时,点以每分钟个单位长的速度向左运动,点以每分钟个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后点到点、点的距离相等?3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有:利用运算律;以符代数;恰当
5、分组;裂项相消;分解相约;错位相减等.问题解决例1（1）已知,记,则通过计算推测的表达式_.（用含的代数式表示）（成都市中考题）（2）若、是互为相反数,、是互为倒数,的绝对值等于,则的值是_.（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（2）,运用相关概念的特征解题.例2已知整数、满足,且,那么等于（ ）.:A.B.C.D.（江苏省竞赛题）试一试解题的关键是把表示成个不同整数的积的形式.例3计算:（1）;（广西竞赛题）（2）;（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）.（“五羊杯”竞赛题）试一试 对于（1）,设原式,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对
6、于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例4 在数学活动中,小明为了求的值（结果用表示）,设计了如图所示的几何图形.图图（1）请你用这个几何图形求的值;（2）请你用图,再设计一个能求的值的几何图形.（辽宁省大连市中考题）试一试 求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键.例5在前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是.代数和的最小值能是吗?能是吗?由于任意添“”号或“”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手.因
7、与的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于.又,所求非负代数和的最小值为1.类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法.例6观察下面的计算过程.问:（1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律.（2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”.请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题.分析与解 （1）.（2）从连续自然数到连续偶数,从个到个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:;.数学冲
8、浪知识技能广场1.如图,每一个小方格的面积为,则可根据面积计算得到如下算式:_.（用表示,是正整数）.（第1题）（2012年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加,第位同学报,第位同学报,第位同学报这样得到的个数的积为_.（2012年河北省中考题）3.计算:（1）_.（“希望杯”邀请赛试题）（2）_.（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出,今天我们可以将高斯的做法归纳如下:有,.请类比以上做法,回答下列问题:若为正整数,则_.（2012年湖北省黄石市中
9、考题）5.设,在代数式|,中负数的个数是（ ）.A.B.C.D.（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:克以内元,每增加克（不足克按克计）元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为克,则他应付邮资（ ）元.A.B.C.D.（2012年四川省竞赛题）7.为了求的值,可令,则,因此所以.仿照上面推理计算出的值是（ ）.A.B.C.D.（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数:第个数:;第个数:;第个数:;第个数:.那么,在第个数、第个数、第个数、第个数中,最大的数是（ ）.A.第个数B.第个数C.第个数D.第个数（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（1）按
10、下表已填写的形式填写表中的空格:图图图三个角上三个数的积三个角上三个数的和积与和的商（2）请用你发现的规律求出图中的数和图中的数.（2012年益阳市中考题）10.观察下列等式:第个等式:;第个等式:第3个等式:第4个等式:;请解答下列问题:（1）按以上规律列出第个等式:_;（2）用含的代数式表示第个等式_;（为正整数）;（3）求的值.（2012年广东省中考题）思维方法天地11.计算:（1）_.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2）_.（“希望杯”邀请赛试题）（3）_.（江苏省竞赛题）12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为,的形式,又可分别表示为,的形式,则_.13.已知,则_.（“五羊杯”竞赛
11、题）14.已知、满足且,则代数式的值是_.（四川省竞赛题）15.的值是（ ）.A.B.C.D.（北京市竞赛题）16.如果个不同的正整数、满足,那么等于（ ）.A.B.C.D.E.17.如果,那么的值为（ ）.A.B.C.D.不确定（河北省竞赛题）18.观察下列各式:（1）;（2）;（3）;（4）;请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）.A.2B.C.D.（济南市中考题）19.观察下面的等式:,;,;,;,.（1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”
12、邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为.但为时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道时,我们可以这样做:（1）观察并猜想:,_;（2）归纳结论:（_）（_）_;（3）实践应用:通过以上探究过程,我们就可以算出当为时,正方形网格中正方形的总个数是_.（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗
13、透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求的值,其中是正整数.对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有行,每行有个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为,即.（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形
