上海市黄浦区高考数学二模试卷

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1、第 1 页 共 11 页 高考数学二模试卷高考数学二模试卷 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 1 设 x R x 0 是 x x 1 0 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 2 已知梯形 ABCD AB CD 设 向量 的起点和终点分别是 A B C D 中 的两个点 若对平面中任意的非零向量 都可以唯一表示为 的线性组合 那 么 的个数为 A 6B 8C 10D 12 3 在某段时间内 甲地不下雨的概率为 乙地不下雨的概率为 若在这段时间内两地下雨相互独立 则这段时间内两地都下雨的概率为 A B C D 4

2、在 ABC 中 BC a CA b AB c 下列说法中正确的是 A 用 为边长不可以作成一个三角形 B 用 为边长一定可以作成一个锐角三角形 C 用 为边长一定可以作成一个直角三角形 D 用 为边长一定可以作成一个钝角三角形 二 填空题 本大题共 12 小题 共 54 0 分 5 行列式的值为 6 计算 7 椭圆的焦距长为 8 若函数 f x 的反函数为 则 f 3 9 若球主视图的面积为 9 则该球的体积等于 10 不等式 的解集为 11 若等比数列 an 的前 n 项和 则实数 a 12 在 的二项展开式中 若所有项的二项式系数之和为 256 则常数项等于 13 若函数 在区间 0 上单

3、调递增 则实数 m 的取值范围 为 第 2 页 共 11 页 14 设 0 2 若圆 x cos 2 y sin 2 r2 r 0 与直线 2x y 10 0 有交点 则 r 的最小值为 15 设 0 2 若关于 x 的方程 sin 2x a 在区间 0 上有三个解 且它们 的和为 则 16 已知复数集合 A x yi x 1 y 1 x y R 其 中 i 为虚数单位 若复数 z A B 则 z 对应的点 Z 在复平面内所形成图形的面积为 三 解答题 本大题共 5 小题 共 76 0 分 17 如图 在棱长为 2 的正方体 ABCD A B C D 中 E 为 AB 的中点 1 求证 直线

4、A E 平行于平面 CC D D 2 求异面直线 A E 与 B C 所成角的大小 结果用反 三角函数值表示 18 经济订货批量模型 是目前大多数工厂 企业等最常采用的订货方式 即某种物资 在单位时间的需求量为某常数 经过某段时间后 存储量消耗下降到零 此时开始 订货并随即到货 然后开始下一个存储周期 该模型适用于整批间隔进货 不允许 缺货的存储问题 具体如下 年存储成本费 T 元 关于每次订货 x 单位 的函 数关系为 其中 A 为年需求量 B 为每单位物资的年存储费 C 为每 次订货费 某化工厂需用甲醇作为原料 年需求量为 6000 吨 每吨存储费为 120 元 年 每次订货费为 2500

5、 元 1 若该化工厂每次订购 300 吨甲醇 求年存储成本费 2 每次需订购多少吨甲醇 可使该化工厂年存储成本费最少 最少费用为多少 19 已知函数 f x sinx 1 设 a R 判断函数的奇偶性 并说明理由 第 3 页 共 11 页 2 设函数 F x 2f x 对任意 b R 求 y F x 在区间 b b 10 上零 点个数的所有可能值 20 双曲线 b 0 1 若 的一条渐近线方程为 y 2x 求 的方程 2 设 F1 F2是 的两个焦点 P 为 上一点 且 PF1 PF2 PF1F2的面积为 9 求 b 的值 3 斜率为 2 的直线与 交于 A B 两点 试根据常数 b 的不同取

6、值范围 求线 段 AB 中点的轨迹方程 21 已知以 a1为首项的数列 an 满足 an 1 an 1 n N 1 当时 且 1 an 0 写出 a2 a3 2 若数列 an 1 n 10 n N 是公差为 1 的等差数列 求 a1的取值范围 3 记 Sn为 an 的前 n 项和 当 a1 0 时 给定常数 m m 4 m N 求 Sm 1的最小值 对于数列 a1 a2 a8 当 S8取到最小值时 是否唯一存在满足 aj 2 aj 1 1 2 j 6 j N 的数列 an 请说明理由 第 4 页 共 11 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 由 x x 1 0 解得 x 1 或

7、x 0 x 0 能推出 x 1 或 x 0 但由 x 1 或 x 0 推不出 x 0 0 是 x x 1 0 的充分非必要条件 故选 A 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 根据充分条件和必要条件的定义是解决本题 的关键 2 答案 B 解析 解 由已知有 不共线 又起点和终点分别是 A B C D 中的两个点 则此向量共有 12 个 又 与 共线 即 的个数为 12 4 8 故选 B 由平面向量基本定理得 不共线 又起点和终点分别是 A B C D 中的两个点 则此向量共有 12 个 又 与 共线 即 的个数为 12 4 8 得解 本题考查了平面

8、向量基本定理 属中档题 3 答案 D 解析 分析 本题考查概率的求法 考查相互独立事件概率计算公式等基础知识 考查运算求解能力 是基础题 利用相互独立事件概率计算公式直接求解 解答 解 在某段时间内 甲地不下雨的概率为 P1 0 P1 1 乙地不下雨的概率为 P2 0 P2 1 在这段时间内两地下雨相互独立 则这段时间内两地都下雨的概率为 P 1 P1 1 P2 故选 D 4 答案 B 解析 解 对于 A 取 可以作成三角形 因此不正确 对于 B 不妨设 a b c 则 a b c 则 0 A B C cosC 0 可 得 C 为锐角 因此 ABC 必然为锐角三角形 正确 第 5 页 共 11

9、 页 对于 C D 由 B 可知 C D 不正确 因此只有 B 正确 故选 B 利用三角形三边大小关系 余弦定理 先判断 A B 的正误 进而判断出 C D 的正 误 本题考查了三角形三边大小关系 余弦定理 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 5 答案 1 解析 解 由题意 可知 1 7 2 4 1 故答案为 1 本题可根据二阶行列式的定义进行计算 本题主要考查二阶行列式的定义计算 本题属基础题 6 答案 解析 解 故答案为 直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可 本题考查数列极限的运算法则的应用 是基本知识的考查 7 答案 2 解析 解 因为椭圆 所以 a2 2 b2 1 所以 c2 1

10、 所以 2c 2 所以椭圆的焦距为 2 故答案为 2 直接利用椭圆的方程求出 a b 然后求出 2c 即可 本题考查椭圆的基本性质的应用 考查计算能力 8 答案 9 解析 解 f x 的反函数为 取 f 1 x 3 得 则 x 9 f 3 9 故答案为 9 要求 f 3 只需在中取 f 1 x 3 求得 x 值即可 本题考查互为反函数的两函数图象间的关系 考查函数值的求法 是基础题 9 答案 36 第 6 页 共 11 页 解析 解 因为 R2 9 所以 R 3 所以体积公式为 V 36 故答案为 36 由球主视图是圆得圆的半径 得球的体积 本题考查球的体积公式 属于简单题 10 答案 1 3

11、 解析 解 由 可得 x 1 2 可得 x 1 2 或 x 1 2 即 x 3 或 x 1 故答案为 1 3 去分母后解绝对值不等式即可 本题考查了绝对值不等式的解法 属基础题 11 答案 3 解析 解 数列 an 是等比数列 若 q 1 显然 不成立 故数列 an 的公比 q 1 所以 故 q 2 3 故 a 3 故填 3 将等比数列的前 n 项和公式分类讨论即可得到结论 本题考查了等比数列的前 n 项和公式 属于中档题 12 答案 112 解析 解 由题意可得 2n 256 解得 n 8 的通项公式为 Tr 1 2 r 令 0 解得 r 2 常数项 112 故答案为 112 由题意可得 2

12、n 256 解得 n 利用通项公式即可得出 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 13 答案 m 解析 解 由题意可知 f x 在 1 上单调递增 当 x 1 时 f x lg x m lg x m x m 0 在 1 上恒成立 m 1 又 f x 在 0 上单调递增 lg 1 m 1 解得 m m 的取值范围是 m 第 7 页 共 11 页 故答案为 m 由 f x 在 1 上单调递增可得 x m 0 在 1 上恒成立 求得 m 1 由 f x 在 0 上单调递增可得 lg 1 m 1 从而可求得 m 的范围 本题考查了分段函数的单调性 不等式恒成立问

13、题 属于中档题 14 答案 解析 解 根据题意 圆 x cos 2 y sin 2 r2 r 0 的圆心为 cos sin 则圆心到直线 2x y 10 0 的距离 d 若圆与直线有交点 则 d r 又由 2cos sin 则 2 1 d 2 1 则有 r 2 1 即 r 的最小值为 2 1 故答案为 2 1 根据题意 分析圆的圆心 求出圆心到直线的距离 结合直线与圆的位置关系可得 d r 结合三角函数的性质分析 d 的范围 即可得答案 本题考查直线与圆的位置关系 涉及三角函数的最值 属于基础题 15 答案 或 解析 解 函数的周期为 若方程 sin 2x a 在区间 0 上有三个解 则三个解

14、必有 x 0 和 x 另外一个根 m 可能与 x 0 关于对称轴对称 或者与 x 对称 由 2x k 得 x 若 k 0 则对称轴为 x 此时 m 与 0 关于为 x 对称 则 m 2 则三个根之和为 0 得 若 k 1 则对称轴为 x 此时 m 与 0 关于为 x 对称 第 8 页 共 11 页 则 m 2 则三个根之和为 0 得 综上 或 故答案为 或 求出函数的周期 结合方程在区间 0 上有三个解 则等价为 x 0 和 x 是方程的两 个解 结合对称性求解第三个解即可 本题主要考查函数与方程的应用 结合三角函数在一个周期内的性质 得到为 x 0 和 x 是方程的两个解以及通过三角函数的对

15、称性进行求解是解决本题的关键 综合性较 强 16 答案 解析 解 集合 A x yi x 1 y 1 x y R 在复平面内所形成的图形为正方形 ABCD 内包括边界 z2 1 i z1 cos isin z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形 PQRS 如 图 所以所求图形的面积为 4 1 故答案为 集合 A x yi x 1 y 1 x y R 在复平面内所形成的图形为正方形 ABCD 内包括边 界 z2 1 i z1 cos isin z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形 PQRS 再用正方形 PQRS 的面积减去 4 个等腰直角三角形的面积可得 本题考查了复数的代数表示法及其几何

16、意义 属中档题 第 9 页 共 11 页 17 答案 证明 1 取 CD 中点 F 连结 D F 在棱长为 2 的正方体 ABCD A B C D 中 E 为 AB 的中点 A E D F A E 平面 CC D D D F 平面 CC D D 直线 A E 平行于平面 CC D D 解 2 A D B C DA E 是异面直线 A E 与 B C 所 成角 或所成角的补角 A E DE A D 2 cos DA E 异面直线 A E 与 B C 所成角为 解析 1 取 CD 中点 F 连结 D F 推导出 A E D F 由此能证明直线 A E 平 行于平面 CC D D 2 由 A D B C 得 DA E 是异面直线 A E 与 B C 所成角 或所成角的补角 由此能求出异面直线 A E 与 B C 所成角 本题考查线面平行的证明 考查异面直线所成角的求法 考查空间中线线 线面 面面 间的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 是中档题 18 答案 解 1 由题意 A 6000 B 120 C 2500 则 T x T 300 68000 2 T x 60000 当且仅当 60 x