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1、小结学习目标1.理解相似图形及比例线段的概念,能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.3.理解并掌握相似三角形的判定和性质,能进行相关证明和计算.4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.学习过程第一层学习:回顾思考1.相似三角形有哪些性质?位似图形呢?答:2.三角形的相似与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相似?答:3.举例说明三角形相似的一些应用.答:4.如何利用位似将一个图形放大或缩小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,并举出一些它们的实际应用的例子吗?矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃
2、軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。提示:答:第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】已知=3,则(b+d0)的值是.【思路点拨】由已知可知:3b=a,3d=c,得到(b+d0)的值.解析:2.相似三角形的判定与性质【例2】如图所示,在ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AD,BE相交于点G,若SGDE=1,求SABC.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。【思路点拨】先求与GDE相似的GAB的面积,由相似比为12,得SABG=4,再根据AGE,BGD分别与GDE等高,可得面积为GDE的面积的2倍,从而可以得到四边形ABDE的面积,只要求出DEC的面积即可得出所
3、求.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。解:【例3】如图所示,四边形ABCD中,AC平分DAB,ADC=ACB=90,E为AB的中点,连接CE.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(1)求证:AC2=ABAD;(2)求证:CEAD;(3)连接DE,交AC于点F.若AD=4,AB=6,求的值.【思路点拨】(1)由AC平分DAB,ADC=ACB=90,可得ADCACB,从而得AC2=ABAD.(2)由E为直角三角形斜边AB的中点,得CE=AB=AE,则DAC=ECA,得到CEAD.(3)证AFDCFE,由相似三角形的对应边成比例,求得的值.彈贸摄
4、尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。解:【例4】如图所示,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的O交BC于点D,过D作MNAC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BGMN于G.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。(1)求证:BGDDMA;(2)求证:直线MN是O的切线.【思路点拨】(1)根据垂直定义得出BGD=DMA=90,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出DBG=ADM,再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明BGDDMA;(2)连接OD.由三角形中位线的性质得出ODAC,根据垂直于同一直线的两直线平
5、行得出ACBG,由平行公理推论得到ODBG,再由BGMN,可得ODMN,然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是O的切线.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。证明:3.相似三角形的应用【例5】一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时(身高BN=AM)的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐
6、識着純榮詠。【思路点拨】根据AMEC,CDEC,BNEC得到MACDBN,从而得到ABNACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。解:4.位似图形的画法与性质【例6】如图所示,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;(2)分别写出B,C两点的对应点B,C的坐标;(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M的坐标.【思路点拨】(1)延长BO,CO分别到B,C,使OB,OC的长度分别
7、是OB,OC的2倍.顺次连接三点即可.(2)从直角坐标系中,读出B,C的坐标.(3)观察坐标之间的关系可得M的坐标为(-2x,-2y).籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。解:评价作业1.(6分)下列四条线段中,不是成比例线段的是()A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=,b=8,c=5,d=15C.a=1,b=,c=,d=D.a=,b=1,c=,d=2.(6分)ABCABC,A=45,B=100,则C等于()A.45B.100C.55D.353.(6分)如图所示,l1l2l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F,若,DE=4,则EF
8、的长是()預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。A.B.C.6D.104.(6分)如图所示,在ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,SDEFSABF=425,则DEEC等于()渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。A.25B.23C.35D.325.(6分)如图所示,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。A.B.C.-1D.+16.(8分)如图所示,1=2,添加一个条件使ADEACB:. 7.(8分)如图所
9、示,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足是D,BC=,BD=1,则CD=,AD=. 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。8.(8分)为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从F处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB的高度为m. 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。9.(10分)如图所示,点C,D在线段AB上,PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ACPPDB?(2)当ACPPDB时,求APB的度数.10.(10分)如图
10、所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,OAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。(1)以O为位似中心,将OAB放大,使得放大后的OA1B1与OAB对应线段的比为21,画出OA1B1(所画OA1B1与OAB在原点两侧);蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.11.(12分)如图所示,直线PM切O于点M,直线PO交O于A,B两点,弦ACPM,连接OM,BC.求证:買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。(1)ABCPO
11、M;(2)2OA2=OPBC.12.(14分)如图,王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米,BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜,AMN区域种植芹菜,CME和BNF区域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不计),其中点M,N分别在AC,AB上,点E,F在BC上,已知韭菜每平方米收益100元,芹菜每平方米收益60元,青菜每平方米收益40元,设CM=5x米,王爷爷的蔬菜总收益为W元.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。(1)当矩形MNFE恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形MNFE的面积.(2)若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍,求
12、这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值.参考答案学习过程第一层学习:回顾思考1.答:相似三角形的性质有:(1)相似三角形的对应边成比例,(2)相似三角形的对应角相等,(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比,(4)相似三角形的周长比等于相似比,(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯
13、嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。2.答:三角形的相似包括三角形的全等,三角形的全等是相似比为1的三角形的相似.判断两个三角形相似的常用方法是:(1)利用平行线判定三角形相似:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。符合这一特征的图形有两种:“A”型和“X”型.(2)判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.(3)判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.(5)直角三角形相似的判定:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.3.答:应用相似三角
14、形可以测量不易直接得到的距离,如测河宽、测旗杆高等.4.答:应用位似作图的一般步骤是:确定位似中心:画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.连接关键点与位似中心:找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点.画出对应点:根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点,得到新的图形.写出作图的结论.平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是:图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】解析:由=3,得3b=a,3d=c,=3.答案:32.相似三角形的判定与性质【例2】解:D,E分别是BC,AC的中点,DEAB,DE=AB,AGBDGE,=4.SGDE=1,SABG=4.AGE的AG边上的高与GDE的DG边上的高相等,=2,SAGE=2,同理可得SGBD=2,S四边形ABDE=4+2+2+1=9.DEAB,EDCABC,
