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1、1反证法逻辑原理即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学 邮编：410003）【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若 A 则 B 为真，这只是简洁的形式，因为若 A 则 B 为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论 B 为真。【关键词】：反证法 证明 矛盾 逆否命题一 反证法出现反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一
2、种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。反证法常称作 Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能” ，源自希腊语中的“ ”，阿基米德经常使用它。 二 反证法所依据的逻辑思维规律反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律 ”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说 “A 或者非 A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”
3、，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律” ，结论与“否定的结论” 这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard) 对反证法的实质作过概括：“ 若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯
4、定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法 ”。2反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。三 反证法所依据的逻辑基础牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一 ”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂, 而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。反
5、证法的证题可以简要的概括为“否定得出矛盾 否定” 。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定” 。应用反证法的是：欲证“若 P 则 Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假 ”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：某命题：若 A 则 B，则此命题有 4 种情况：1.当 A 为真，B 为真，则 AB 为真，BA 为真；2.当 A 为真，B 为假，则 AB 为假，BA 为假；3.当 A 为假，B 为真，则 AB 为真，BA 为真；4.当 A 为假，B 为假，则 AB 为真，BA
6、为真；一个命题与其逆否命题同真假与若 A 则 B 先等价的是它的逆否命题若B 则A假设B, 推出 A, 就说明逆否命题是真的 ,那么原命题也是真的.但实际推证的过程中,推出A 是相当困难的, 所以就转化为了推出与A 相同效果的内容即可,这个相同效果就是与 A(已知条件) 矛盾,或是与已知定义,定理, 大家都知道的事实等矛盾.这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若 A则 B 为真，这只是简洁的形式，因为若 A 则 B 为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论 B 为真。这样就有
7、命题：若 A 则 B 为真，应该完备成命题：若 A 且 C（定义）且 D（定理）且 E（正确的逻辑推理）且 F(客观事实)以及且则 B。于是逆否命题就是:若B,则 A 或 C （定义）或D （定理）或E（正确的逻辑推理）或F(客观事实)以及或，逆否命题至少有一个，证出一个就可以了。在数学的证明中，经常运用反证法。在命题逻辑推理中，反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。设 A1，A2 ，Am 是命题公式，如果 A1 A2Am 是可满足的，3称 A1，A2 ，Am 是相容的。如果 A1A2Am 是矛盾式，称 A1，A2 ，Am 是不相容的。如果要证 A1 A2Am C只需证明 A
8、1 A2Am C 是重言式。而 A1A2Am C (A1A2Am)C (A1A2Am C)由此可知 A1A2Am C 为重言式，当且仅当 A1A2Am C 是矛盾式。从而得到如 A1，A2，Am，C 不相容（即 C(A1A2Am)这就是A1 A2Am C 的逆否命题得证 ），则 C 是 A1，A2，Am 的有效结论。因此我们可以把 C 作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到 C 是A1，A2，Am 的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础。例如：BA 为真，就是B 且 A 且 C（定义）且 D（定理）且 E（正确的逻辑推理）且 F(客观事实 )以及A 且 C（定义）且 D（定理）且
9、E（正确的逻辑推理）且 F(客观事实 )以及这就是推出与已知条件矛盾的情形，所以若 A则 B 为真（即原命题为真），当然也可以是另外的情形，如：B 且 A 且 C（定义）且 D（定理）且 E（正确的逻辑推理）且 F(客观事实 )以及则 A 且 C（定义）且D（定理）且 E（正确的逻辑推理）且 F(客观事实 )以及，这就是推出与定理矛盾的情形，所以若 A则 B 为真（即原命题为真）等等。四 反证法步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。（若B 为真）（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。（即推出A 或C（定义）D（定理）或E（正确的逻辑推理）或 F(客观事实)以及或为真）（3
10、）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。（即 AB 为真）五 反证法在简易逻辑中适用题型：（1）唯一性命题（2）否定性题（3）“ 至多”，“至少”型命题4基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。例 1 求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。证明：假设它们有两个公共点 A，B，这两点直分别是 a，b
11、 那么 A，B 都属于 a，A ，B 也都属于 b， 因为两点决定一条直线， 所以 a，b 重合（这否定了两条直线这个条件）所以命题不成立， 原命题正确，公共点最多只有一个。否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。例 2 为圆两条相交弦，且不全为直径，CDAB、求证： 不能互相平分。、证明：假设弦 被 点平分，、 P由于 点一定不是圆心，连接 ，O则有 ，CDABO,即过一点 有两条直线与 垂直，这与垂线性质矛盾（这否定了垂线性质定理），所以弦 不CDAB、能被 平分。P例 3 证明函数 y = cos 不是周期函数。x证明
12、：假设函数 y=cos 是周期函数，即存在 T 0，使 cos = Txcos x令 x=0，得 T=4k (k 0， k Z， 不妨设 k0)。2令 x=4 ，得 = 2m (m N)224k5=m N21k但是当 k0 时， k k+1，因而 不是整数（这21k21k否定了相邻两个整数之间没整数的事实），矛盾故 函数 y = cos 不是周期函数。x例 4 求证：形如 4n+3 的整数不能化为两整数的平方和。证明：假设 p 是 4n+3 型的整数，且 p 能化成两个整数的平方和，即p=a2+b2，则由 p 是奇数得 a、b 必为一奇一偶。不妨设 a=2s+1，b=2t，其中 s、t 为整数
13、，p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1，这与 p 是 4n+3 型的整数矛盾（这否定了条件 p 是 4n+3 型的整数）。例 5 证明： ABC 内不存在这样的点 P，使得过 P 点的任意一条直线把ABC的面积分成相等的两部分。证明：假设在ABC 内存在一点 P，使得过P点的任一条直线把ABC 的面积分成 相等的两部分。连接 AP、 BP、 CP 并分 别延长交对边于 D、 E、 F。由假设，S ABD=S ADC，于是 D 为 BC的中点，同 理 E、 F 分别是 AC、 AB 的中点，从而 P 是 ABC 的重心。过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC
14、 于 M、 N， 则 ，这与假设过 P 点的任一条直线把ABC 的面积分成相等的两部分矛盾。（这否定了题设过 P 点的任一条直线把ABC 的面积分成相等的两部分）限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。例 6 已知函数 f(x)是单调函数，则方程 f(x)=0 最多只有一个实数根。证：假设方程至少有两个根 x ，x 且 x x ，1212则有 f(x )=f(x2) (x x )16这与函数单调的定义显然矛盾（这否定了函数单调的定义），故命题成立。例 7 平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同时在这六个圆上。证：题意即这六个圆没有共同的交点。如果这六个
15、圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的线段中，总有两条线段所成的角不超过 60。这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆圆心在对方圆内；否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。（这否定了已知条件）例 8 若 p0，q0 ，p3q32 。试用反证法证明： pq 2。证明：此题直接由条件推证 pq 2 是较困难的，由此用反证法证之。假设 pq 2，p0，q 0，（p q ）3p3 3p2q 3pq2q3 8又p3q32。代入上式得：3pq （pq ）6。即 pq（pq）2 又由 p3q32 得(pq) （p2 pqq2）2 由得 pq（ pq）（pq ）（p2pqq2)p q 0。pqp2pqq2 p22pqq20 （pq ）20 与(pq）20 相矛盾。（这否定了实数的平方非负的运算律）假设 pq 2 不成立。故 pq2 。唯一性命题，即结果指定唯一的命题。例 9 已知 证明 的方程 有且只有一个根。,0axba证明：由于 因此方程至少有一个根 ax如果方程不只一个根，不
