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1、考查角度2概率与统计的综合应用分类透析一古典概型的综合应用例1 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,设正四面体朝下面的数字分别为b,c.(1)若z=|b-3|+|c-3|,求z=2的概率;(2)若方程x2-bx-c=0至少有一个根x1,2,3,4,就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率.分析 (1)用列举法列出事件,再根据要求求解.(2)分类讨论.解析 (1)因为随机投掷两次,所以基本事件(b,c)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)
2、,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.当z=2时,(b,c)的所有取值有(1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),共6个.所以P(z=2)=616=38.(2)若方程的一个根为x=1,则1-b-c=0,即b+c=1,不成立.若方程的一个根为x=2,则4-2b-c=0,即2b+c=4,所以b=1,c=2.若方程的一个根为x=3,则9-3b-c=0,即3b+c=9,所以b=2,c=3.若方程的一个根为x=4,则16-4b-c=0,即4b+c=16,所以b=3,c=4.由知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4).所以方程为“
3、漂亮方程”的概率P=316.方法技巧 古典概型中基本事件个数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.分类透析二统计与古典概型的综合应用例2 据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590.23万人次,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:百万元),则称为优秀导游.经验表明,若公司的优秀导游率越高,则
4、该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表:分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)频数b1849245乙公司(1)求a,b的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度更高?(2)若导游的奖金(单位:万元)与其一年内旅游总收入x(单位:百万元)之间的关系为y=1,x20,2,20x29%,甲公司的影响度更高.(2)甲公司年旅游总收入在10,20)内的人数为0.0110100=10人;年旅游总收入在20,40)内的人数为(0.025+0.035)10100=60人;年旅游总收入在
5、40,60)内的人数为(0.02+0.01)10100=30人.故甲公司导游的年平均奖金y-=101+602+303100=2.2(万元).(3)由已知得,年旅游总收入在50,60)内的人数为15人,其中甲公司10人,乙公司5人.故按分层抽样的方法甲公司抽取61015=4人,记为a,b,c,d;从乙公司抽取6515=2人,记为1,2.从6人中随机抽取2人的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有(
6、a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共9个.设事件A为“参加座谈的导游中有乙公司导游”,则P(A)=915=35.所求概率为35.方法技巧 以统计为载体,利用统计中的数据来求古典概型的概率,仍用列举法求解.分类透析三独立性检验与古典概型的综合应用例3 近年来,我国电子商务蓬勃发展,有关部门推出了针对网购平台的商品和服务的评价系统,从该系统中随机选出100次成功了的交易,并对这些交易的评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为40次.(1)根据已知条件完成下面的22列联
7、表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”.对服务满意对服务不满意合计对商品满意40对商品不满意合计100(2)现从对商品和服务都不满意的网购者中,任意抽取两人,对他们进行回访,求对商品和服务都不满意的网购者甲被抽到的概率. 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d为样本容量).P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635分析 (1)利用数据填写列联表即可,求出K2的观测值,对照临界值即可得到结论;(2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有
8、5人,利用列举法求出所求随机事件的概率.解析 (1)对服务满意对服务不满意合计对商品满意402060对商品不满意35540合计7525100K2的观测值k=100(405-2035)2752560405.5566.635,没有99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”.(2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有5人,记他们是甲、乙、丙、丁、戊,从他们中任意抽取两人,有(甲乙),(甲丙),(甲丁),(甲戊),(乙丙),(乙丁),(乙戊),(丙丁),(丙戊),(丁戊),共10种抽法,其中甲被抽到的有(甲乙),(甲丙),(甲丁),(甲戊),共4种抽法,所以所求概率为410=25.
9、方法技巧 (1)利用公式求出K2的观测值,对照临界值即可得到结论;(2)判断出是古典概型后,利用列举法求解古典概型概率问题.1.(2017年全国卷,文18改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n13141516171819频数10201616151310假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)
10、的平均数;若花店一天购进16枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于70元的概率.解析 (1)当日需求量n16时,利润y=80,当日需求量n16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=10n-80,n10.828.所有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”.1.(2018海南高三联考)某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如下表:乘坐站数x0x33x66x9票价(元)123现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在
11、每个站下车的可能性是相同的.(1)若甲、乙两人共付费2元,则甲、乙两人下车方案共有多少种?(2)若甲、乙两人共付费4元,求甲比乙先到达目的地的概率.解析 (1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站,前3站设为A1,B1,C1,甲、乙两人有(A1,A1),(A1,B1),(A1,C1),(B1,A1),(B1,B1),(B1,C1),(C1,A1),(C1,B1),(C1,C1),共9种下车方案.(2)设9站分别为A1,B1,C1,A2,B2,C2,A3,B3,C3,因为甲、乙两人共付费4元,所以有甲付1元,乙付3元;甲付3元,乙付1元;甲付2元,乙付2元共三类情况.由(1)可知每类情况中各有9种方案,所以甲、乙两人共付费4元有27种方案.而甲比乙先到达目的地的方案有(A1,A3),(A1,B3),(A1,C3),(B1,A3),(B1,B3),(B1,C3),(C1,A3),(C1,B3),(C1,C3),(A2,B
