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1、2019年全国中考数学真题分类汇编48 几何最值一、选择题12（2019长沙）如图，ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是【 】ABCD10【答案】B二、填空题16（2019黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC2，BD8，AB8.点M为AB的中点.若CMD120，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将CAM沿CM翻折到CAM，将DBM沿DM翻折至DBM，则AMBM，AMCAMC，DMBDMB，CMD120，AMC+DMBAMC+DMB60，AMB180-（AMC+DMB+AMC+DMB）60，AMB是等边三角形，又AC2
2、，BD8，AB8.点M为AB的中点，ABAMBMAMAB4，CAAC2，DBDB8，又CDCA+AB+DB2+4+814.三、解答题24（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点FE点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒（1）求证：CEEF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求BEF面积的最大值【解题过程】（1）证明：过E作MNAB，交AD于M，交BC于N，四边形ABCD
3、是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，AMEFNE90NFEFEN，AEEF，AEFAEMFEN90，AEMNFE，DBC45，BNE90，BNENAM.AEMEFN（AAS）.AEEF.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE，DEDE，ADECDE（SAS），AECEEF.（2）在RtBCD中，由勾股定理得：BD10，0x5.由题意，得BE2x，BNENx.由（1）知：AEMEFN，MEFN，ABMN10，MEFN10x，如图（1），当0x时，BFFNBN10xx102x.yBFEN2x2x（0x）；如图（2），当x时，BFBNFNx（10x）x10，yBFEN2x2x（
4、x）. （1） （2）（3）y2x25x2（x）2，20，当x时，y有最大值是；即BEF面积的最大值是；当x时，y2x2x，此时20，开口向上，对称轴为直线x，对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x时，y最大值50.当x时，BEF面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定.25（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC，BD.ABBCAC.求证：BDADCD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM.小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD请你选择
5、一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.BC是O的直径，ABAC.试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O的直径，ABC30，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.（3）拓展猜想如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O0的直径，BC：AC：ABa：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图，在DB上截取DMAD，连接AM，由旋转全等得BMCD，BDMDBMADCD（2）【探
6、究1】数量关系为：BDADCD如图，在DB上截取ADAN，连接AN，可得AND为等腰直角三角形，NDAD，由旋转全等得BNCD，BDNDBNADCD【探究2】数量关系为：BD2ADCD如图，在DB上截取2ADPD，连接AP，可得APD为30的直角三角形，由旋转相似得BPCD，BDPDBP2ADCD（3）拓展猜想数量关系为：BDADCD如图，过A作AQAD交BD于Q，连接AQ，由旋转相似得，BQCD，BQAD，BDPDBPADCD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图，在DB上截取DMAD，连接AM，可得AMD为等边三角形，可证BAMCAD（SAS）得BMCD，BDMDBMADCD（2）【探究1
7、】数量关系为：BDADCD如图，在DB上截取ADAN，连接AN，可得AND为等腰直角三角形，NDAD，BANCAD，可证BANCAD（SAS）得BNCD，BDNDBNADCD【探究2】数量关系为：BD2ADCD如图，在DB上截取2ADPD，连接AP，可得APD为30的直角三角形，BAPCAD，可证BAPCAD得BPCD，BDPDBP2ADCD（3）拓展猜想数量关系为：BDADCD如图，过A作AQAD交BD于Q，连接AQ，可得BAQCAD，ABQACD，ADQACB，BACQADBAPCAD，ADQACB ，BQCD，BQAD，BDPDBPADCD26（2019益阳）如图，在半面直角坐标系xOy
8、中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.(1)当OAD=30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形 OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值.第26题图 第26题备用图【解题过程】（1）如图1，过点C作CEy轴，垂足为E.第26题答图1 矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO=90，又OAD+ADO=90，CDE=OAD=30.在RtCED中，CE=CD=
9、2，DE=;在RtOAD中，OAD=30，OD=AD=3.点C的坐标为(2，).(2)M为AD的中点，DM=3，.又，.设OA=x，OD=y，则，即，x=y.将x=y代入得，解得(不合题意，舍去)，OA的长为.（3）OC的最大值为8.理由如下：如图2，第26题答图2 M为AD的中点，OM=3，.OCOM+CM=8,当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8.连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N.CDM=ONM=90，CMD=OMN，CMDOMN，即，解得，.在RtOAN中，.26（2019衡阳）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿A
10、B匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值解：（1）ABC为等边三角形，B60，BPPQ，2BPBQ即2（6t）6t，解得t2当t为2时，BPQ为直角三角形；（2）存在
11、作射线BF，PEAC，AE0.5t四边形CQFE是平行四边形，FQEC60.5t，BF平分ABC，FBQBQF90BQ2FQ，BQ6t，6t2（60.5t），解得t3 （3）过点P作PGCQ交AC于点G，则APG是等边三角形BPPQ，EGAGPGCQ，PGDQCD，PDGQDC，PGPACGt，PGDQCDGDGCDEAC3（4）连接AM，ABC为等边三角形，点M是BC的中点，BM3由勾股定理，得AM3 由折叠，得BM3当A 、B、M在同一直线上时，AB的值最小，此时AB33.过点B作BHAP于点H，则cos30,即，解得t93t为93时，AB的值最小，最小值为331.（2019重庆A卷）如图
12、，在平面在角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MNBD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHx轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HFFPPC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HFFPPC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0360），得到，其中边交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足
13、条件的点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，直线BD：y2x6如答图1，连接DN、BN，则SBDNBDMN，而BD为定值，故当MN最大时，SBDN取最大值此时由SBDNSDFNSBFNEHFNBHFNBEFNFN，从而SBDN取最大值时，即为FN有最大值令N(m，m22m3)，则F(m，2m6)，从而FN(2m6)(m22m3)m24m3(m2)21，此时，当且仅当m2，FN有最大值为1，于是N(2，3)，F(2，2)，H(2，0)在直角三角形中，设最小的直角边为a，斜边为3a，较长直角边为3，即可求出a，于是在x轴上取点K(，0)，连接KC，易求直线K
