《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含答案 ]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含答案 ]（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标、知重点1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直【出处：21教育名师】1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.3平面向量的模(1)向量模公式：设a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间距离公式：若A(x1
2、，y1)，B(x2，y2)，则|.4向量的夹角公式设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示21*cnjy*com探究点一平面向量数量积的坐标表示思考1已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，
3、y2)，怎样用a与b的坐标表示ab?答ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2x1y2ijx2y1jiy1y2j2.又ii1，jj1，ijji0，abx1x2y1y2.思考2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示你能用文字描述这一结论吗？【来源：】答两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和例1已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.解(1)设ab(，2) (0)，则有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab122410，
4、a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)反思与感悟两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律www.21-cn-跟踪训练1若a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，则(ab)c_；a(bc)_.2-1-c-n-j-y答案(16，8)(8，12)解析ab2(1)3(2)8，(ab)c8(2,1)(16，8)bc(1)2(2)14，a(bc)(2,3)(4)(8，12)探究点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a(x，y)，如何计算向量的模|a|?答axiyj，a2(xiyj)2(xi)22xyij(yj)2x2i
5、22xy ijy2j2.又i21，j21，ij0，a2x2y2，|a|2x2y2，|a|.思考2如图，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？答(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，|.探究点三平面向量夹角的坐标表示思考1设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？答abx1x2y1y20.思考2设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？【版权所有：21教育】答cos .例如，(1)若a(3,0)，b(5,5)，则a与b的夹角为_(2)已知A(1,
6、2)，B(2,3)，C(2,5)，则ABC的形状是_三角形答案(1)(2)直角例2已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角21世纪*解设a与b的夹角为，则ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，所以ab0且a与b不反向由ab0得120，故0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为(2，)反思与感悟由于两个非零向量a，b的夹角满足01
7、80，所以用cos 来判断，可将分五种情况：cos 1，0；cos 0，90；cos 1，180；cos 0且cos 1，为锐角跟踪训练2已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.a，b的夹角为钝角即1且1.的取值范围是(，1)(1,1)例3已知在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标解设点D的坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(
8、x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0.即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1)，(1,2)|，即|，D(1,1)反思与感悟在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解【来源：21cnj*y.co*m】跟踪训练3以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角OAB，B90，求点B和的坐标解设B(x，y)，则|，B(x，y)，A(5,2)，|.又|，.可得10x4y29，又(x，y)，(x5，y2)，且，0，x(x5)y(y2)0，即x25xy22y0，由解得或B或.或.1已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A
9、. B. C. D.答案B解析|a|，|b|，ab5.cosa，b.又a，b的夹角范围为0，a与b的夹角为.2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1 B. C2 D4答案C解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23.|a|2.3在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则k的值为_答案5解析(2,3)(k,1)(2k,2)，(2,3)，2(2k)60，k5.4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.答案8解析a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca6b，c2a212ab36b2201263
10、65128.|c|8.呈重点、现规律1向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持www-2-1-cnjy-com2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力21教育名师原创作品3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.一、基础过关1已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m等于()A2 B.C0 D答案B解析ab(1
11、，)(3，m)3m，又abcos ，3mcos ，m.2已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A B.C D.答案A解析由a(3,2)，b(1,0)，知ab(31,2)，a2b(1,2)又(ab)(a2b)0，3140，.3平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于()A. B2C4 D12答案B解析a(2,0)，|b|1，|a|2，ab21cos 601.|a2b|2.4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B.C. D.答案D解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.由解得x，y.5若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B.C. D.答案C解析2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos ，0，.6设a(2，x)，b(4,5)，若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_答案x且x解析为钝角，cos 0，即ab85x0，x.ab时有4x100，即x，当x时，a(2，)b，a与b反向，即.故a与b的夹角为钝角时，x且x.7已知
