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1、第9讲风险偏好与投资储蓄行为 C CAPM讨论路线图 2 9 1投资者参与风险资产的条件投资者组合配置优化问题 投资者拥有初始财富w0 a投资于风险资产 r 剩余的w0 a投资于无风险资产 rf 期末投资者的财富为投资者通过选择风险资产上的投资量a来最大化他的期望效用优化问题一阶条件a 是使期望效用最大的风险资产投资量 3 9 1 9 1投资者参与风险资产的条件投资者参与风险资产的条件 命题9 1 如果a 是优化一阶条件 9 1 式的解 投资者风险厌恶且其效用函数可导 u 0当且仅当Er rf ii a 0当且仅当Er rf iii a 0当且仅当Er rf证明 定义值函数如下投资者最优化的一
2、阶条件又可以写为由于投资者是风险厌恶的 所以必然有u 0 因此对任何a都必然有 4 9 1投资者参与风险资产的条件投资者参与风险资产的条件 续 证明 续 这意味着V a 是一个减函数 V a 随a的增大而减小 所以当且仅当V 0 0时才会有a 0 因为如果V 0 0 就必须要有这样 就证明了等价关系 i 另两个等价关系类似可证 命题得证 5 9 1投资者参与风险资产的条件命题9 1背后的直觉 对一个之前完全持有无风险资产的投资者来说 把一些财富a重新分配到风险资产上的行为会对投资者效用带来两方面的影响一方面 由于风险资产的期望回报率会高于无风险利率 所以消费者的效用会因为其总投资期望回报率的上
3、升而上升 效用上升幅度与a成正比 Arrow Pratt近似 另一方面 由于风险资产的回报存在不确定性 所以投资者效用会因为这种不确定性的上升而下降 效用下降幅度与a2成正比 Arrow Pratt近似 当a很小的时候 期望回报率上升带来的正面效应总是压倒不确定性上升带来的负面效应所以 只要风险资产的期望回报率高于无风险利率 投资者就一定会在风险资产上投入一些财富 6 9 2风险资产上的投资量风险资产投资量与绝对风险厌恶系数之关系 命题9 2 如果a 是优化一阶条件 9 1 式的解 Er rf 投资者风险厌恶且其效用函数二阶可导 u 0当且仅当R A 0 IARA 投资者的绝对风险厌恶系数随初
4、始财富的增加而下降 上升 时 初始财富越大 投资者投资于风险资产上的财富量越多 越少 钱越多越不怕风险的话 钱越多 投在风险资产上的钱也越多 7 9 2风险资产上的投资量命题9 2 i 必要性部分之证明 证明 证明DARA R A w0 0 情形的必要性 消费者优化问题之一阶条件为其中一阶条件式左右两边对w0求导 并注意到a 本身是w0的函数 可得由于da dw0不是随机变量 因为a 在一开始就会被确定下来 所以可以从期望符号中提出来 因此可以解出由于u 0 分式中的分母总是负的 da dw0的正负号与E u w r rf 的符号相同 8 9 2 9 2风险资产上的投资量命题9 2 i 必要性
5、部分之证明 续1 证明 续 用绝对风险规避系数来替换效用的二阶导数 u RA u 其中的rn为第n种可能性发生时 风险资产报酬率的实现值 wn为在这种情况下投资者期末财富的实现值 pn为第n种可能性发生的概率 对任意一种状态n 只能有rn rf或rn rf两种可能rn rf的情况 由于a 0 所以如果rn rf 则必有wn w0 1 rf 考虑到DARA的性质 因而必然有RA wn RA w0 1 rf 因此 必然有RA wn rn rf RA w0 1 rf rn rf rn rf的情形 此时必有wn w0 1 rf 以及RA wn RA w0 1 rf 由于此时rn rf 0所以也有RA
6、wn rn rf RA w0 1 rf rn rf 因此对任何n 都有以下不等式成立 9 9 2风险资产上的投资量命题9 2 i 必要性部分之证明 续2 证明 续 由于边际效用u wn 总是正的 所以对任何n都有又由于风险资产的回报率不是无风险利率 所以在某些可能性下 会有rn rf 在这种可能性下 上面的不等号取严格不等号 于是上面这个不等式的右边可以再写回期望符号 并将其中常数提出 从而得到上面最后等于0的这一步用到了一阶条件式 所以 E u w r rf 0 从而da dw0 0 这样便证明了DARA情形下的必要性结论 CARA与IARA情形类似可证 10 9 3风险资产投资占总财富的比
7、重 定义a 对初始财富的弹性为e w0 命题9 3 如果a 是优化一阶条件 9 1 式的解 Er rf 投资者风险厌恶且其效用函数二阶可导 u 1当且仅当R R 0 IRRA CRRA与现实世界更相符当投资者是相对风险厌恶程度不变时 CRRA 其投资在风险资产上的财富比例不随财富的变化而变化 是一个常数在现实世界的持续经济增长中 财富随之持续增长 投资在风险资产上的财富比例大致保持不变 与CRRA的结论更相近 11 9 4风险中性投资者的特例 风险中性投资者具有线性的效用函数 u c c u u 0风险中性投资者的组合优化问题只要E r rf 风险中性投资者会尽可能多地买入风险资产如果风险中性
8、投资者可以以无风险利率随意借贷 那就会借入尽可能多的钱投入到风险资产上 在这种情况下 风险中性投资者会承担社会中所有的风险 而给其他风险厌恶的投资者提供无风险资产的供给 12 9 5风险与储蓄确定性情况 消费者的优化问题一阶条件左右两边同时对R求导 并注意到s是R的函数导数的符号由分子的符号决定RR sR 1 时 ds dR 0 0 储蓄随回报率的增加而增加 减少 风险厌恶度越低 储蓄越是随着回报率率的增加而增值 13 9 5风险与储蓄必要的说明 不同时间与状态间的平滑配置 回报率的上升会给消费者带来两重影响替代效应 substitutioneffect R越高 今天的储蓄在明天产生的财富更多
9、 促使消费者今天多储蓄 少消费收入效应 incomeeffect R越高 今明两天可用来消费的总财富就更多 今天就应该消费更多 储蓄更少对风险厌恶度高的人来说 收入效应更占优风险厌恶度高 跨时间和跨状态 平滑消费意愿强 更愿意因为未来消费的增加而增加当前消费 减少当前储蓄 储蓄回报率越高 储蓄越少风险厌恶度低 跨时间和跨状态 平滑消费意愿弱 更不愿意因为未来消费的增加而增加当前消费 减少当前储蓄 储蓄回报率越高 储蓄越替代效应越占优 储蓄越多不同的经济力量 跨时平滑消费与跨状态平滑消费 对应相同的控制参数 相对风险规避系数 应该会带来问题吧 14 9 5风险与储蓄不确定状况下的储蓄 资产的总回
10、报率R 是一个随机变量 当R 的风险变大时储蓄会怎样变化 消费者优化问题一阶条件为定义函数g R Ru sR 要使R 的波动方差变大后储蓄s增加 g R 需要是个凸函数 g R 0 15 9 5风险与储蓄不确定状况下的储蓄 续 可以计算定义绝对审慎系数PA y 与相对审慎系数PR y 为有命题9 4 令R A与R B是两个随机收益 且R B是R A的保均展形 R B风险更高 若sA与sB分别是初始财富为w的风险厌恶投资者分别在面对R A与R B两种情况时做出的储蓄 那么有以下三个等价关系成立 i sA sB 当且仅当PR sR 2 16 9 5风险与储蓄CRRA效用函数的情形 CRRA效用函数可以计算对CRRA型效用函数 相对风险规避系数和绝对审慎系数都是常数 17
