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1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用1两角和与差的正切公式(1)T()：tan().(2)T()：tan().2两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.(2)T()的变形：tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan()tan()tan
2、tan 1.情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(CAD)约为45.求这座电视发射塔的高度解设电视发射塔的高CDx，CAB，则sin .在RtABD中，tan(45)tan ，于是x30.如何能由sin 求得tan(45)的值呢？或者说能不能用sin 把tan(45)表示出来呢？www.21-cn-虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题我们有必要得到两角和与差的正切公式【来源：】探究点一两角和与差的正切公式的推导思考1你能根据
3、同角三角函数基本关系式tan ，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角，的正切值表示tan()，tan()的公式吗？试一试答当cos()0时，tan().当cos cos 0时，分子分母同除以cos cos ，得tan().根据，的任意性，在上面式子中，以代替得tan().思考2在两角和与差的正切公式中，的取值是任意的吗？答在公式T()，T()中，都不能等于k(kZ)探究点二两角和与差的正切公式的变形公式思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan tan tan()(1tan tan )，tan tan 11.这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的请利用两角和与差的正切公式
4、或变形公式完成以下练习练习：直接写出下列式子的结果：(1) ；(2)tan 75 ；(3) .答案(1)1(2)2(3)例1求下列各式的值：(1)；(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解(1)原式tan(6015)tan 75tan(3045)2.(2)tan 451，tan 15tan 301tan 15tan 30原式(1tan 15tan 30)tan 15tan 301.反思与感悟公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示出第三个21世纪*跟踪训练1求下列各式的值：
5、(1)；(2)tan 36tan 84tan 36tan 84.解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)tan 36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84tan 36tan 84tan 120.例2若，均为钝角，且(1tan )(1tan )2，求的值解(1tan )(1tan )2，1(tan tan )tan tan 2，tan tan tan tan 1，1.tan()1.，(，2).反思与感悟此类题是给值求角题，解题步骤如下：求所求角的某一个三角函数值，确定所求角的范围此类题常犯的错误是对
6、角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解2-1-c-n-j-y跟踪训练2已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求角.21*cnjy*com解由已知得tan 、tan 均为负，0，0.tan().0，.例3已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC的形状【出处：21教育名师】解tan Atan Btan Atan B1，(tan Atan B)tan Atan B1，tan(AB).又0AB，AB，C，tan Btan Ctan Btan C，tan C，tan Btan B，t
7、an B，B，A，ABC为等腰钝角三角形反思与感悟三角形中的问题，ABC肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角21cnjycom跟踪训练3已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.【版权所有：21教育】证明ABC，ABC.tan(AB)tan C.tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.1若tan()3，则tan 的值为()A2 B C. D2答案B解析tan tan.2已知AB45，则(1tan A)(1tan B)的值
8、为()A1 B2 C2 D不确定答案B解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan(AB)(1tan Atan B)tan Atan B11tan Atan Btan Atan B2.3已知A，B都是锐角，且tan A，sin B，则AB .答案解析B为锐角，sin B，cos B，tan B，tan(AB)1.0AB，AB.4已知tan，tan，则tan .答案解析tantan.呈重点、现规律1公式T()的适用范围及结构特征和符号规律(1)由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即不为k (kZ)(2)公式T的右侧为分式形式，其中分子为
9、tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和www-2-1-cnjy-com(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”2公式T()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan 1，tan ，tan 等要特别注意tan，tan.3公式T()的变形应用只要见到tan tan ，tan tan 时，要有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路一、基础过关1已知，sin ，则tan的值等于()A. B7 C D7答案A2已知tan()，tan，那么tan等于()A. B.C. D.答案C解析tantan.3已知tan ，tan ，0，则的值是()A. B. C.
10、 D.答案C4A，B，C是ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x25x10的两个实数根，则ABC是()【来源：21cnj*y.co*m】A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D无法确定答案A解析tan Atan B，tan Atan B，tan(AB)，tan Ctan(AB)，C为钝角5. .答案6已知tan2，则的值为 答案解析tan2，2，解得tan .7求值：(1tan 59)(1tan 76)解原式1tan 59tan 76tan 59tan 761(tan 59tan 76)tan 59tan 761tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7
11、611tan 59tan 76tan 59tan 762.二、能力提升8化简tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于()A1 B2Ctan 10 D.tan 20答案A解析原式tan 10tan 20tan 20 tan 10(tan 10tan 20tan 10tan 20)1.9设为第二象限角，若tan，则sin cos .答案解析因为tan，所以tan ，因为为第二象限角，所以cos ，sin ，则sin cos .10已知、均为锐角，且tan ，则tan() .答案1解析tan .tan tan tan 1tan .tan tan tan tan 1.tan tan 1tan tan .1，tan()1.11在ABC中，求证：tan tan tan tan tan tan 1.证明ABC180，90.90.tantan.tantan 1.1，tan tan tan tan 1tan tan .即tan tan tan tan tan tan 1.12已知sin()，sin()，且(，)，(，2)，求cos 2的值解sin()，(，)，cos().sin()，(，
