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1、几何图形中的最值问题1.如图，在RtABC中，ACB90，AB5，BC3.若点D是AB边上任意一点，且不与点A、B重合，连接CD.将BCD沿着CD所在的直线翻折，使得点B落在点B处，连接AB，则AB的最小值为_第1题图1【解析】在RtABC中，根据勾股定理可得：AC4，由对称性可知：BCBC3，BC的长度固定，当ABBC的值最小时，AB的值最小，根据“两点之间，线段最短”可知当A、B、C三点共线时，AB最小，ABACBC431.2.如图，在菱形ABCD中，AB4，ABC60，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PMPN的最小值为_ 第2题图 第2题解图6【解
2、析】如解图，作点N关于BD对称的点N，根据菱形的对称性可知点N在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点N作NMBC于点M，故MN与BD的交点P即满足PMPN的值最小，故MNABsinABC46.3.如图，在矩形ABCD中，AB9，BC12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则DF的长为_ 第3题图 第3题解图 6【解析】如解图，作点E关于直线CD的对称点E，连接AE交CD于点F，在矩形ABCD中，AB9，BC12，点E是BC中点，BECECE6，ABBC，CDBC，即，解得CF3，DFCDCF936.4.如图，在RtABO中，AOB90，AOBO5，延长AO到
3、C，使OC3，延长BO到D，使OD4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为_第4题图18【解析】设OAx，OBy，AOBO5，xy5，延长AO到C，OC3，延长BO到D，OD4，连接BC、CD、DA，AOB90，S四边形ABCDSACDSABCACODACOBAC(ODOB)ACBD(x3)(y4)，xy5，S四边形ABCD(x3)(5x4)(x3)(9x)(x3)218. 四边形ABCD的最大面积为18.5.如图，已知四边形ABCD，BAD120，CBAB，CDAD，且ABAD3，点E、F分别是BC、CD边上的动点，那么AEF周长的最小值是_ 第5题图 第5题解图6【解析】如
4、解图，延长AB至点M，使BMAB，延长AD至点N，使DNAD，连接MN，交BC于点E，交DC于点F.CBAB，CDAD，BC、CD是AM、AN的垂直平分线，AEME，AFFN.AEF的周长AEEFAFMEEFFNMN，此时AEF的周长为线段MN的长ABAD3，AMAN6，BAD120，MN30，MN2AMcos30126.6.如图，在RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段CP长的最小值为_ 第6题图 第6题解图2【解析】如解图，PABPBC，ABC90，BAPPBA90，APB90，点P始终在以AB的中点O为圆心，以OAOBOPAB3为半径
5、的圆上，由解图知，只有当在点P在OC与O的交点处时， PC的长最小在RtOBC中，OC5，PCOCOP532，线段CP长的最小值为2.7.如图，在矩形ABCD中，AD2，AB3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将AEF沿EF所在直线翻折得到AEF，连接AC，则AC的最小值为_ 第7题图 第7题解图1【解析】如解图，点E是AD的中点，根据翻折性质得AEAEDEAD21，点F为动点，随着点F的运动，点A的运动轨迹是以点E为圆心，AE为半径在矩形ABCD内的圆弧，当E、A、C不在同一直线上时，则CA、AE和CE围成三角形，根据三角形的三边关系，即ACCEAE，当E、A、C在同一直线上时
6、，即ACCEAE，综上所述ACCEAE，当E、A、C在同一直线上时，AC有最小值，在RtCDE中，CD3，DE1，CE，AC的最小值为CEDE1.8.如图，正方形ABCD的边长为4，DAC的平分线交DC于点E.若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQPQ的最小值是_ 第8题图 第8题解图2【解析】如解图，作D关于AE的对称点D，DD交AE于F，再过D作DPAD于P，DDAE，AFDAFD，AFAF，DAECAE，ADFADF，ADAD4，D与D关于AE对称，QDQD，DQPQQDPQPD，DP即为DQPQ的最小值，四边形ABCD是正方形，DAD45，APPD，在RtAPD中，PD2AP2AD
7、2，即2PD216，PD2，即DQPQ的最小值为2.9.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且PAPB，连接AC、PC，则PAC的最大面积为_ 第9题图 第9题解图1【解析】如解图，作出以AB为直径的O交线段AC于点E，连接PE、OE、BE，由AC为正方形的对角线及O的直径为AB，可得AEB为等腰直角三角形，则点E为AC的中点，SAPC2SAPE，要使得APC的面积最大，只需使得APE面积最大即可AE长度为定值，只需使APE中AE边上的高最大即可，AEAC，OAOBOE1，AOE是等腰直角三角形，RtAOE中，利用等面积法求得AE边上的高为，APE中AE边上的高的最大值为1，APE面
8、积的最大值为(1)，PAC的最大面积为2()1.10.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，BD8，AB2，DE8.若ACE135，则线段AE长度的最大值是_第10题图104【解析】如解图，分别将ABC、CDE沿AC、CE翻折，则点B落到点F处，点D落在点G处，连接AG、FG.由“两点之间线段最短”可知AGAFFG，AEAGEG，AEAFFGEG，如解图所示，当点A、F、G、E四点共线时，AE最大，此时，AEAFFGEG，由翻折可证ACBACF，CBCF，ABAF，ACBACF.同理，CDECGE，CDCG，DEGE，ECDECG.ACE135，ACBECD45ACFECG，FCG90.又BCDC，FCGC，FCG是等腰直角三角形BD8，AB2，DE8，AFAB2，EGDE8，由勾股定理得FG4，AEAFFGEG104.即AE的最大值为104. 第10题解图 第10题解图
