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1、8.2余弦定理(一)学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识链接1.以下问题可以使用正弦定理求解的是.(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.(2)已知两角和一边，求其他角和边.(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.答案(1)(2)2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解a2|BC|2(bcosAc)2(bsinA0)2b2(
2、sin2Acos2A)2bccosAc2b2c22bccosA.得出a2b2c22bccosA.预习导引1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.2.余弦定理的推论cosA；cosB；cosC.要点一已知两边及一角解三角形例1 (1)在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和边a.(2)在ABC中，已知a，b，B45，解此三角形.解(1)方法一由余弦定理b2a2c22accosB，得32a2(3)22a3cos30，a29a180，得a3或6.当a
3、3时，由于b3，所以AB30，C120.当a6时，由正弦定理得sinA1.A90，C60.方法二由正弦定理得sinC，由bc，C60或120，当C60时，A90，由勾股定理a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形.a3.(2)由余弦定理知b2a2c22accosB.23c22c.即c2c10，解得c或c，当c时，由余弦定理，得cosA.0A180，A60，C75.当c时，由余弦定理，得cosA.0Aa，cb，角C最大.由余弦定理，得c2a2b22abcosC，即3791624cosC，cosC，0Cbc，C为最小角，由余弦定理cosC.C.4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
4、c，若a2c2b2ac，则角B的值为.答案解析因为a2c2b2ac，所以cosB.则B.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简.3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如
5、果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、基础达标1.在ABC中，已知a2，则bcosCccosB等于()A.1B.C.2D.4答案C解析bcosCccosBbca2.2.在ABC中，已知b2ac且c2a，则cosB等于()A.B.C.D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，cosB.3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90B.120C.135D.150答案B解析设中间角为，则cos，60
6、，18060120为所求.4.在ABC中，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为()A.B.C.或D.或答案D解析由(a2c2b2)tanBac得即cosB，sinB或cosB0(舍去)，又B为ABC的内角，所以B为或.5.在ABC中，已知A60，最大边长和最小边长恰好是方程x27x110的两根，则第三边的长.答案4解析设最大边长为x1，最小边长为x2，则x1x27，x1x211，又A60，故第三边为角A的对边，第三边长4.6.三角形三边长分别为a，b，(a0，b0)，则最大角为.答案120解析易知：a，b，设最大角为，则cos，又0180，120.7.已知a，b，c是ABC的三内角A，
7、B，C的对边，且b6，c4，A.(1)求a的值；(2)求sinC的值.解(1)由余弦定理，得a2b2c22bccosA3616264cos28，所以a2.(2)cosC.sinC.二、能力提升8.在ABC中，sin2，则ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案B解析sin2，cosA，a2b2c2，符合勾股定理.9.如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为()A
8、.50mB.45mC.50mD.47m答案C解析依题意得OD100m，CD150m，连接OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理有OC2OD2CD22ODCDcosODC，即OC2100215022100150，解得OC50(m).10.在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是.答案解析cosC，sinC.ADACsinC.11.在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长.解(1)cosCcos(AB)cos(AB)，且C(0，)，C.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2b2a22abcos(ab)2ab10，
