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1、第 1 页 共 14 页 高考数学二模试卷 文科 全国 高考数学二模试卷 文科 全国 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知 A 1 0 1 2 3 B x x 1 则 A B 的元素个数为 A 0B 2C 3D 5 2 复数 z i 为虚数单位 则 z A 25B C 5D 3 函数 f x sin2x 2cos2x 1 的最小正周期为 A B 2 C 3 D 4 4 已知向量 1 2 3 1 k 4 且 则 k A 1B 2C 3D 4 5 已知双曲线 C 1 的一条渐近线方程为 y x 则该双曲线的离心率为 A 2B C D 6 一个空间几何
2、体的三视图及部分数据如图所示 则这个几何体的体积是 A 3B C 2D 7 若 x y 满足约束条件 则 z 4x 3y 的最小值为 A 0B 1C 2D 3 8 已知 x ln y log52 则 A x y zB z x yC z y xD y z x 9 在数学解题中 常会碰到形如 的结构 这时可类比正切的两角和公式 如 设是非零实数 且满足 则 A B C D 第 2 页 共 14 页 10 我国古代名著 庄子 天下篇 中有一句名言 一尺之 棰 日取其半 万世不竭 其意思为 一尺的木棍 每天截取一半 永远都截不完 现将该木棍依此规 律截取 如图所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天
3、后所剩木棍的长度 单位 尺 则 处可分别 填入的是 A B C D 11 从分别写有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张 放回后再随机抽取 1 张 则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A B C D 12 已知点 A 0 2 抛物线 C y2 ax a 0 的焦点为 F 射线 FA 与抛物线 C 相 交于点 M 与其准线相交于点 N 若 FM MN 1 则 a 的值等于 A B C 1D 4 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知函数 f x 2x sinx 当 x 0 1 时 函数 y f x 的最大值为 14 已知函数 y f x
4、 是奇函数 当 x 0 时 f x lgx 则 的值为 15 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 若 AB AC AB AC AA2 2 则球 O 的表面积为 16 在 ABC 中 已知 a b c a b c 6 5 4 给出下列结论 由已知条件 这个三角形被唯一确定 ABC 一定是钝三角形 sinA sinB sinC 7 5 3 若 b c 8 则 ABC 的面积是 其中正确结论的序号是 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知等差数列 an 中 a3a7 16 a4 a6 0 求 1 求 an 的通项公式 2 an 的前 n 项和
5、Sn 第 3 页 共 14 页 18 如图所示 四棱锥 S ABCD 中 SA 底面 ABCD AB CD AD AC AB 3 SA CD 4 为线段 AB 上一点 AP 2PB SQ QC 1 证明 PQ 平面 SAD 2 求四面体 C DPQ 的体积 19 某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 x 万人 与餐厅所用原材料数量 y 袋 得到如下统计表 第一次第二次第三次第四次第五次 参会人数 x 万人 13981012 原材料 y 袋 3223182428 1 根据所给 5 组数据 求出 y 关于 x 的线性回归方程 2 已知购买原材料的费用 C 元 与数量 t 袋 的关系为 投
6、入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元 多余的原材料只能无偿返还 据 悉本次交易大会大约有 15 万人参加 根据 1 中求出的线性回归方程 预测餐厅 应购买多少袋原材料 才能获得最大利润 最大利润是多少 注 利润 L 销售 收入 原材料费用 参考公式 参考数据 第 4 页 共 14 页 20 已知椭圆 的右焦点为 F 设直线 l x 5 与 x 轴的交点为 E 过点 F 且 斜率为 k 的直线 l1与椭圆交于 A B 两点 M 为线段 EF 的中点 I 若直线 l1的倾斜角为 AB 的值 设直线 AM 交直线 l 于点 N 证明 直线 BN l 21 已知函数 f x x aln x
7、1 1 当 a 2 时 求 f x 的单调区间 2 当 a 1 时 关于 x 的不等式 kx2 f x 在 0 上恒成立 求 k 的取值范 围 22 以直角坐标系原点 O 为极点 x 轴正方向为极轴 已知曲线 C1的方程为 x 1 2 y2 1 C2的方程为 x y 3 C3是一条经过原点且斜率大于 0 的直线 1 求 C1与 C2的极坐标方程 2 若 C1与 C3的一个公共点为 A 异于点 O C2与 C3的一个公共点为 B 求 OA 的取值范围 第 5 页 共 14 页 23 已知 a b c 均为正实数 且 证明 已知 a b c 均为正实数 且 证明 第 6 页 共 14 页 答案和解
8、析答案和解析 1 答案 B 解析 解 因为 A 1 0 1 2 3 B x x 1 所以 A B 即 A B 的元素个数为 2 故选 B 由集合的交集及其运算得 因为 A 1 0 1 2 3 B x x 1 所以 A B 即 A B 的元素个数为 2 得解 本题考查了集合的交集及其运算 属简单题 2 答案 C 解析 解 因为复数 z 所以 z 故选 C 化简复数 z 然后求出复数的模即可 本题考查复数的代数形式的混合运算 复数的模的求法 考查计算能力 3 答案 A 解析 解 函数 f x sin2x 2cos2x 1 sin2x cos2x sin 2x 的最小正周期为 故选 A 利用三角恒等
9、变换化简函数的解析式 再利用正弦函数的周期性 得出结论 本题主要考查三角恒等变换 正弦函数的周期性 属于基础题 4 答案 A 解析 解 k 1 故选 A 可求出 根据即可得出 进行数量积的坐标运算即 可求出 k 考查向量垂直的充要条件 向量的减法和数量积的坐标运算 5 答案 B 第 7 页 共 14 页 解析 解 由渐近线方程为 y x 得 b a 由此可得 e 故选 B 利用双曲线的渐近线方程 推出 a b 的关系 然后求解双曲线的离心率即可 本题考查双曲线的离心率的求法 渐近线方程的应用 考查计算能力 6 答案 D 解析 解 由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱 底面为直角三角形 两直角
10、边长分别等于 1 和 棱柱高等于 故几何体的体积 V 1 故选 D 根据已知中三视图及其标识的相关几何量 我们易判断这是一个直三棱柱 且底面为直 角边长分别等于 1 和的直角三角形 高为 代入棱柱体积公式即可得到答案 本题考查的知识点是由三视图答案求体积 其中根据三视图判断几何体的形状 及棱长 等几何量 是解答的关键 7 答案 C 解析 解 作出 x y 满足约束条件 表示的平面区域 得到如图的 ABC 及其内部 其中 A 1 2 B 3 1 C 1 0 设 z F x y 4x 3y 将直线 l z 4x 3y 进行平 移 当 l 经过点 A 时 目标函数 z 达到最小值 z最大值 F 1
11、2 2 故选 C 作出题中不等式组表示的平面区域 得如图的 ABC 及其内部 再将目标函数 z 4x 3y 对应的直线进行平移 可得当 x 1 y 2 时 z 取得最小值 本题给出二元一次不等式组 求目标函数 z 4x 3y 的最小值 着重考查了二元一次不等 式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识 属于基础题 8 答案 D 解析 分析 本题考查不等式比较大小 掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键 属于基 础题 利用 x ln 1 0 y log52 1 z 即可得到答案 解答 解 x ln lne 1 0 log52 log5 即 y 0 第 8 页 共 14 页 1 e0 即 z
12、1 y z x 故选 D 9 答案 D 解析 分析 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用 属于基本知识的考查 先把已知条件转化为 tan tan 利用正切函数的周期性求出 即可 求得结论 解答 解 tan tan 且 tan k k Z k k Z tan tan k 故选 D 10 答案 D 解析 解 由题意可得 由图可知第一次剩下 第二次剩下 由此得出第 20 次 剩下 可得 为 i 20 s i i 1 故选 D 由图可知第一次剩下 第二次剩下 由此得出第 20 次剩下 结合程序框图即可 得出答案 本题考查了程序框图的应用问题 程序填空是重要的考试题型 准确理解流程图的含义 是解题的关键
13、 属于基础题 11 答案 C 解析 解 从分别写有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张 放回后再随 机抽取 1 张 基本事件总数 n 5 5 25 抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有 15 个 分别为 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 3 1 4 4 4 3 第 9 页 共 14 页 4 2 4 1 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 p 故选 C 基本事件总数 n 5 5 25 抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事 件有 15 个 由此能求出抽得的第一张卡片上的数字不大于第
14、二张卡片的概率 本题概率的求法 考查古典概型 列举法等基础知识 考查运算求解能力 是基础题 12 答案 D 解析 解 依题意 F 点的坐标为 0 设 M 在准线上的射影为 K 由抛物线的定义知 MF MK KM MN 1 则 KN KM 2 1 kFN kFN 2 2 求得 a 4 故选 D 作出 M 在准线上的射影 根据 KM MN 确定 KN KM 的值 进而列方程求得 a 本题主要考查了抛物线的简单性质 抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转 化为点到准线的距离来解决 13 答案 2 sin1 解析 解 函数 f x 2x sinx 可得 f x 2 cosx 0 恒成立 所以函数
15、 f x 2x sinx 当 x 0 1 时 函数是增函数 函数的最大值为 2 sin1 故答案为 2 sin1 求出导函数 判断函数的单调性 然后求解函数的最大值 本题考查函数的导数的应用 函数的最值的求法 考查计算能力 14 答案 lg2 解析 解 当 x 0 时 f x lgx f lg 2 则 f 2 函数 y f x 是奇函数 f 2 lg2 故答案为 lg2 根据题意先求出 f 2 再根据奇函数的性质知 f 2 代入解析式进 行求解 第 10 页 共 14 页 本题考查了利用函数奇偶性求函数的值 对于多层函数值问题 需要从内到外的顺序进 行逐层求解 结合奇函数的关系式进行求解 考查
16、了分析和解决问题能力 15 答案 36 解析 分析 本题考查直三棱柱的外接球的表面积的求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 是中档题 底面 ABC 为直角三角形 把直三棱柱 ABC A1B1C1补成四棱柱 则四棱柱的体对角线 是其外接球球 O 的直径 由此能求出球 O 的表面积 解答 解 直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 AB AC AB AC AA1 2 底面 ABC 为直角三角形 把直三棱柱 ABC A1B1C1补成四棱柱 则四棱柱的体对角线是其外接球球 O 的直径 所以外接球球 O 半径为 R 3 球 O 的表面积 S 4 R2 36 故答案为 36 16 答案 解析 分析 本题主要考查命题的真假判断 结合三角形的边长关系 属于基础题 根据边长比例关系 求出 a b c 的关系 结合正弦定理 余弦定理以及三角形的面积 公式分别进行计算 判断即可 解答 解 a b c a b c 6 5 4 设 a b 6k c a 5k b c 4k k 0 得 a k b k c k 则 a b c 7 5
