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1、第 1 页 共 13 页 高考数学一诊试卷 文科 高考数学一诊试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A x N 1 x 4 则集合 A 中的元素个数是 A 3B 4C 5D 6 2 1 i 2i 1 A 1 iB 1 iC 3 iD 3 i 3 若双曲线 1 a 0 b 0 的实轴长为 4 离心率为 则其虚轴长为 A 8B 4C 2D 4 已知向量 的夹角为 则 A B 3C D 3 5 某区要从参加扶贫攻坚任务的 5 名干部 A B C D E 中随机选取 2 人 赴区属 的某贫困村进行驻村扶贫工作 则 A 或 B 被选中的概率
2、是 A B C D 6 朱世杰是元代著名数学家 他所著 算学启蒙 是一部在中国乃至世界最早的科学 普及著作 算学启蒙 中提到一些堆垛问题 如 三角垛果子 就是将一样大 小的果子堆垛成正三棱锥 每层皆堆成正三角形 从上向下数 每层果子数分别为 1 3 6 10 现有一个 三角垛果子 其最底层每边果子数为 10 则该层 果子数为 A 50B 55C 100D 110 7 已知函数 f x x ln a f b f c f 则以下关系成立的是 A c a bB c b aC a b cD a c b 8 如图是某算法的程序框图 则程序运行后输出的 n 是 A 168 B 169 C 336 D 33
3、8 第 2 页 共 13 页 9 若点 P 是函数 y 图象上任意一点 直线 l 为点 P 处的切线 则直线 l 斜率 的范围是 A 1 B 0 1 C 1 D 0 1 10 在四棱锥 P ABCD 中 PD 底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形 AB 1 PD 2 则 异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值为 A B C D 11 已知点 F1 F2是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 P 为椭圆上的动点 动 点 Q 在射线 F1P 的延长线上 且 若 的最小值为 1 最大值为 9 则椭 圆的离心率为 A B C D 12 已知函数 f x x2 ln x 1 若对于 x 1 2 f
4、ax2 f 3 恒成立 则实 数 a 的范围是 A B 3 a 3C aD a 3 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知数列 an 中 an 1 2an对 n N 成立 且 a3 12 则 a1 14 若实数 x y 满足约束条件 则 z 2x y 必有最 值 填 大 或 小 15 已知 sin cos sin cos 则 tan 16 已知函数 f x alnx 当 a 时 函数的零点个数为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知锐角 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c b c 10 a 5bsinAcosC 5csinAcos
5、B 3a 1 求 A 的余弦值 2 求 b 和 c 18 一本书 一碗面 一条河 一座桥 曾是兰州的城市名片 而现在 兰州马拉松 又成为了兰州的另一张名片 随着全民运动健康意识的提高 马拉松运动不仅在 兰州 而且在全国各大城市逐渐兴起 参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加 为 此 某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查 其中一项调查是调查人员 第 3 页 共 13 页 从参与马拉松运动的人中随机抽取 200 人 对其每周参与马拉松长跑训练的天数进 行统计 得到以下统计表 平均每周进行长跑 调练天数 不大于 2 天3 天或 4 天不少于 5 天 人数3013040 若某人平均每周进行长跑训练
6、天数不少于 5 天 则称其为 热烈参与者 否则称 为 非热烈参与者 1 经调查 该市约有 2 万人参与马拉松运动 试估计其中 热烈参与者 的人 数 2 根据上表的数据 填写下列 2 2 列联表 并通过计算判断是否能在犯错误的 概率不超过 0 01 的前提下认为 热烈参与马拉松 与性别有关 热烈参与者非热烈参与者合计 男140 女55 合计 附 k2 n 为样本容量 P k2 k0 0 5000 4000 2500 1500 1000 0500 0250 0100 0050 001 k00 4550 7081 3232 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 19
7、已知曲线 C 上的任意一点到直线 l x 的距离与到点 F 的距离相等 1 求曲线 C 的方程 2 若过 P 1 0 的直线与曲线 C 相交于 A B 两点 Q 1 0 为定点 设 直线 AQ 的斜率为 k1 直线 BQ 的斜率为 k2 直线 AB 的斜率为 k 证明 为定值 20 如图 在四棱锥 P ABCD 中 四边形 ABCD 为平行四边形 PCD 为正三角形 BAD 30 AD 4 AB 2 平面 PCD 平面 ABCD E 为 PC 中点 1 证明 BE PC 2 求多面体 PABED 的体积 第 4 页 共 13 页 21 已知函数 f x x3 a2 a 2 x2 a2 a 2
8、x a R 1 当 a 1 时 求函数 y f x 的单调区间 2 求函数 y f x 的极值点 22 已知曲线 E 的极坐标方程为 4 2 4 sin2 16 2 cos2 以极轴为 x 轴的非负 半轴 极点 O 为坐标原点 建立平面直角坐标系 1 写出曲线 E 的直角坐标方程 2 若点 P 为曲线 E 上动点 点 M 为线段 OP 的中点 直线 l 的参数方程为 t 为参数 求点 M 到直线 l 的距离的最大值 23 已知 a 0 b 0 a b 4 m R 1 求 的最小值 2 若 x m x 2 对任意的实数 x 恒成立 求 m 的范围 第 5 页 共 13 页 第 6 页 共 13
9、页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 分析 用列举法写出集合 B 本题考查了集合中元素个数的判断 属于基础题 解答 解 集合 A x N 1 x 4 0 1 2 3 即集合 A 中的元素个数是 4 故选 B 2 答案 C 解析 解 1 i 2i 1 2i 1 2i2 i 3 i 故选 C 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查了复数代数形式的乘除运算 是基础题 3 答案 B 解析 解 根据题意 若双曲线 1 a 0 b 0 的实轴长为 4 即 2a 4 则 a 2 又由双曲线的离心率 e 则有 e 则 c a 2 则 b 2 则该双曲线的虚轴长 2b 4 故选 B 根据题意
10、 由双曲线的实轴长可得 a 的值 进而由离心率公式可得 c 的值 计算可得 b 的值 由双曲线的虚轴长为 2b 即可得答案 本题考查双曲线的几何性质 注意双曲线的实轴长为 2a 4 答案 D 解析 分析 根据条件即可得出 从而求出 考查向量数量积的计算公式 向量夹角和长度的定义 解答 解 的夹角为 3 2 故选 D 5 答案 D 解析 解 某区要从参加扶贫攻坚任务的 5 名干部 A B C D E 中随机选取 2 人 第 7 页 共 13 页 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作 基本事件总数 n 10 A 或 B 被选中的对立事件是 A 和 B 都没有被选中 则 A 或 B 被选中的概率是 p
11、1 故选 D 基本事件总数 n 10 A 或 B 被选中的对立事件是 A 和 B 都没有被选中 由此能求出 A 或 B 被选中的概率 本题考查概率的求法 考查古典概型 对立事件概率计算公式等基础知识 考查运算求 解能力 是基础题 6 答案 B 解析 分析 本题考查数列在实际问题中的运用 考查等差数列的求和公式的运用 考查运算能力 属于基础题 由题意可得从上而下每层的个数为 1 2 3 n 由等差数列的求和公式 计算可得所 求值 解答 解 由题意可得每层果子数分别为 1 3 6 10 即为 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 其最底层每边果子数为 10 即有该层的果子数为 1 2 3 10
12、10 11 55 故选 B 7 答案 A 解析 解 c a b 故选 A 根据 f x 的解析式 可以求出 容易看出 从而得出 c a b 考查已知函数求值的方法 对数的运算 以及对数函数的单调性 8 答案 A 第 8 页 共 13 页 解析 解 模拟程序的运行 可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出 1 到 2019 中 满足条件 sin 1 的 k 的个数 n 的值 由 sin 1 又正弦函数的性质可知函数的取值周期为 12 且 2019 12 168 3 可得 n 168 故选 A 由已知中的程序语句可知 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值 模拟 程序的运行过程 利用正
13、弦函数的周期性即可得解 本题主要考查程序框图的识别和判断 根据条件进行模拟计算是解决本题的关键 9 答案 C 解析 解 y y 1 sin2x 1 0 1 sin2x 2 则 y 直线 l 斜率的范围是 1 故选 C 求出原函数的导函数 进一步求得导函数的值域得答案 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程 考查三角函数值域的求法 是中档 题 10 答案 D 解析 分析 本题考查利用空间向量求解空间角 考查计算能力 是中档题 由题意建立空间直角坐标系 求出的坐标 由两向量所成角的余弦值求解 注意 异面直线所成角的范围为 0 90 解答 解 由题意 建立如图的空间直角坐标系 底面 ABCD
14、为正方形 AB 1 PD 2 PD 底面 ABCD 点 A 1 0 0 P 0 0 2 D 0 0 0 B 1 1 0 第 9 页 共 13 页 则 cos 异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值为 故选 D 11 答案 C 解析 解 因为 的最小值为 1 最大值为 9 PF2 的最大值为 a c 9 最小值为 a c 1 a 5 c 4 椭圆的离心率为 e 故选 C 可得 PF2 的最大值为 a c 9 最小值为 a c 1 求得 a c 即可得椭圆的离心率 本题考查了椭圆的离心率 属于基础题 12 答案 A 解析 解 函数 f x x2 ln x 1 的定义域为 R 且 f x x 2
15、ln x 1 x2 ln x 1 f x 所以 f x 为 R 上的偶函数 且在 0 上为增函数 所以对于 x 1 2 f ax2 f 3 恒成立 等价于 ax2 3 在 x 1 2 上恒成立 即 a 在 x 1 2 上恒成立 所以 a 解得 a 所以实数 a 的范围是 故选 A 判断函数 f x 是定义域 R 上的偶函数 且在 0 上为增函数 把问题转化为 ax2 3 在 x 1 2 上恒成立 即 a 在 x 1 2 上恒成立 由此求出实数 a 的范围 本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题 是中档题 13 答案 3 解析 解 12 a3 2a2 a2 6 6 a2 2a1 a1
16、3 故答案为 3 先求 a2 再求 a1 本题考查了数列的递推公式 属基础题 第 10 页 共 13 页 14 答案 大 解析 解 实数 x y 满足约束条件 的可行域如图 则 z 2x y 如图中的红色直线 可知目标函数结 果 A 时截距取得最小值 此时在取得最大值 故答案为 大 画出约束条件的可行域 判断目标函数的几何意 义 然后推出结果 本题考查线性规划的简单应用 画出目标函数的 可行域是解题的关键 15 答案 解析 解 sin cos 1 2sin cos 即 2sin cos 又 cos2 sin2 1 且 sin cos sin cos tan 故答案为 由 sin cos 两边平方可得 2sin cos 又 cos2A sin2A 1 且 sin cos 解得 cos sin 的值 则 tan 可求 本题考查同角三角函数的基本关系的应用 是基础题 16 答案 1 解析 解 函数 f x alnx 可得 f x x a 时 f x 0 函数是减函数 f 1 f 1 0 所以函数函数 f x alnx 当 a 时 函数的零点个数为 1 故答案为 1 通过导函数的符号判断函数的
