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1、第 1 页 共 16 页 高考数学一模试卷 文科 高考数学一模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知全集 U 集合 A 2 1 0 1 2 B x x2 4 则如图中阴影部分所表 示的集合为 A 2 1 0 1 B 0 C 1 0 D 1 0 1 2 如果复数 1 ai 的实部和虚部互为相反数 那么 a 等于 A B 1C D 1 3 若干年前 某教师刚退休的月退休金为 6000 元 月退休金各种用途占比统计图如 下面的条形图 该教师退休后加强了体育锻炼 目前月退休金的各种用途占比统计 图如下面的折线图 已知目前的月就医费比刚退休时少
2、100 元 则目前该教师的月 退休金为 A 6500 元B 7000 元C 7500 元D 8000 元 4 直线 x y m 0 与圆 x2 y2 2x 1 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A 0 m 1B 4 m 2C m 1D 3 m 1 5 已知直线 l1 x sin y 1 0 直线 l2 x 3y cos 1 0 若 l1 l2 则 sin2 A B C D 6 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行 则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为 A 1 B C D 7 已知函数 g x f x x2是奇函数 当 x 0 时 函数 f x 的图象与函数 y l
3、og2x 的图象关于 y x 对称 则 g 1 g 2 A 7B 9C 11D 13 8 函数 f x Asin x 其中 A 0 的图象如图所示 为了得到 g x sin3x 的图象 只需将 f x 的图象 第 2 页 共 16 页 A 向右平移 个单位B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位D 向左平移 个单位 9 已知 0 a b 1 则 ab logba 的关系是 A ab logbaB logba ab C logba abD ab logba 10 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的外接球的表面积为 A 20 B 16 C 12D 8 11 已知直线 与椭圆交于 A B 两
4、点 与圆交于 C D 两点 若存在 使得 则 椭圆的离心率的取值范围是 A B C D 12 若函数 在区间 A 上 对 b 为一个三角形的三边长 则称函 数为 三角形函数 已知函数在区间上是 三角形函数 则实数 m 的取值范围为 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 某校高三科创班共 48 人 班主任为了解学生高考前的心理状况 将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽取 8 人进行调查 若抽到的最大学号为 48 则抽到的最 小学号为 第 3 页 共 16 页 14 已知向量 1 3 m 且 在 上的投影为 3 则向量 与 夹角为 15 设变量 x y
5、满足约束条件 目标函数 z 3x 2y 的最小值为 4 则 a 的值 是 16 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 C 是锐角 且 a 2 cosA 则 ABC 的面积为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 72 0 分 17 设数列 an 的前 n 项之和为 Sn 数列 bn 满足 bn 32n 1 求数列 an 的通项公式 求数列 bn 前 n 项之和 Tn 18 如图 四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 的交点 BE 平面 ABCD 证明 平面 AEC 平面 BED 若 ABC 120 AE EC 三棱锥 E ACD 的体积为 求该三棱锥的侧面积
6、19 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题 为了了解声音强度 D 单位 分贝 与声音能量 I 单位 W cm2 之间的关系 将测量得到的声音强 度 Di和声音能量 Ii i 1 2 10 数据作了初步处理 得到如图散点图及一些 统计量的值 第 4 页 共 16 页 1 04 10 11 45 7 11 5 1 56 10 210 516 88 10 115 1 表中 Wi lgIi 1 根据散点图判断 D a1 b1I 与 D a2 b2lgI 哪一个适宜作为声音强度 D 关于声 音能量 I 的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 2 根据表中数据 求声音强度 D 关于声音
7、能量 I 的回归方程 3 当声音强度大于 60 分贝时属于噪音 会产生噪音污染 城市中某点 P 共受到 两个声源的影响 这两个声源的声音能量分别是 I1和 I2 且 已知点 P 的声音能量等于声音能量 I1与 I2之和 请根据 1 中的回归方程 判断 P 点是否 受到噪音污染的干扰 并说明理由 附 对于一组数据 1 v1 2 v2 n vn 其回归直线 v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 20 如图所示 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 过点 F 垂直于 x 轴的直线 与抛物线 C 相交于 A B 两点 抛物线 C 在 A B 两点处的切线及直线 AB 所围成 的三角形面积
8、为 4 1 求抛物线 C 的方程 2 设 M N 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个动点 且满足 kOM kON kOA kOB 求 OMN 面积的取值范围 第 5 页 共 16 页 21 已知函数 f x ax2 x lnx a R lnx x 1 1 若时 求函数 f x 的最小值 2 若 1 a 0 证明 函数 f x 有且只有一个零点 3 若函数 f x 有两个零点 求实数 a 的取值范围 22 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 0 在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C 的极坐标方 程为 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 设点
9、 M 的坐标为 1 0 直线 l 与曲线 C 相交于 A B 两点 求 的值 第 6 页 共 16 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 分析 本题主要考查集合的基本运算 利用图象先确定集合关系是解决本题的关键 比较基础 由图象可知阴影部分对应的集合为 A UB 然后根据集合的基本运算求解即可 解答 解 由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为 A UB B x x2 4 x x 2 或 x 2 A 2 1 0 1 2 UB x 2 x 2 即 A UB 1 0 1 故选 D 2 答案 B 解析 分析 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 利用复数代数形式的乘除
10、运算化简 再由实部和虚部互为相反数求解 a 值 解答 解 1 ai 的实部和虚部互为相反数 即 a 1 故选 B 3 答案 D 解析 分析 本题考查该教师目前的月退休金的求法 考查条形图和折线图等基础知识 考查运算求 解能力 考查数形结合思想 是基础题 设目前该教师的退休金为 x 元 利用条形图和折线图列出方程 能求出结果 解答 解 设目前该教师的退休金为 x 元 则由题意得 6000 15 x 10 100 解得 x 8000 故选 D 4 答案 A 解析 解 圆方程整理得 x 1 2 y2 2 圆心 1 0 半径 r 直线 x y m 0 与圆 x2 y2 2x 1 0 有两个不同交点 直
11、线与圆相交 即 d r 即 m 1 2 解得 3 m 1 则直线 x y m 0 与圆 x2 y2 2x 1 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 0 m 1 故选 A 第 7 页 共 16 页 把圆的方程整理为标准方程 找出圆心坐标与半径 r 根据直线与圆有两个不同交点得 到直线与圆相交 即圆心到直线的距离 d 小于半径 r 求出 m 的范围 即可作出判断 此题考查了直线与圆相交的性质 直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交 5 答案 D 解析 分析 本题考查了两直线的垂直条件 以及二倍角公式 属于基础题 根据两直线垂直的条件 即可求出 tan 3 再根据二倍角公式即可求出 解答 解
12、因为 l1 l2 所以 sin 3cos 0 所以 tan 3 所以 sin2 2sin cos 故选 D 6 答案 A 解析 分析 本题考查几何概型的应用 考查运算求解能力 数型结合思想 是基础题 先求出总的三角形的面积 再求出它至少离一个顶点距离小于等于 2 的区域的面积 根 据几何概型即可得到所求概率 解答 解 满足条件的正三角形 ABC 如下图所示 其中正三角形 ABC 的面积 16 4 满足到正三角形 ABC 的顶点 A B C 的距离至少有一个 小于等于 2 的平面区域如图中阴影部分所示 阴影部分的面积为 则使取到的点到三个顶点 A B C 的距离都大于 2 的概率是 P 1 1
13、故选 A 7 答案 C 解析 分析 本题考查奇函数的定义 以及互为反函数的两函数图象关于直线 y x 对称 指数函数和 对数函数互为反函数 属于中档题 由 x 0 时 函数 f x 的图象与函数 y log2x 的图象关于 y x 对称 可得出 x 0 时 f x 2x g x 2x x2 再根据 g x 是奇函数即可求出 g 1 g 2 的值 解答 解 x 0 时 f x 的图象与函数 y log2x 的图象关于 y x 对称 x 0 时 f x 2x x 0 时 g x 2x x2 又 g x 是奇函数 g 1 g 2 g 1 g 2 2 1 4 4 11 故选 C 8 答案 B 第 8
14、页 共 16 页 解析 分析 本题主要考查了三角函数的函数图象 根据函数图象求解析式时 注意应用正弦函数图 象的关键点进行求解 考查了读图能力和图象变换法则 属于中档题 根据图象求出 的值 再由 左加右减 法则判断出函数图象平移的方向和单位长度 解答 解 选项只与平移有关 没有改变函数图象的形状 故 3 又函数的图象的与 x 轴交于点 0 根据图象 3 于是 则 f x sin 3x 故 g x sin3x sin 3 x 函数的图象要向右平移 个单位 故选 B 9 答案 A 解析 分析 本题考查对数的运算性质 对数值大小的比较 特殊值法比较大小 是基础题 由题意不妨 a b 取特殊值 求出
15、ab logba 的值 得到答案 解答 解 0 a b 1 不妨取 a b ab logba 2 显然 ab logba 故选 A 10 答案 A 解析 解 根据几何体的三视图 转换为几何体是 故几何体的外接球半径 R 满足 4R2 4 4 12 20 解得 故 S 4 故选 A 首项把三视图转换为几何体 进一步利用几何体的体积公式求出结果 本题考查的知识要点 三视图和几何体之间的转换 几何体的体积公式的应用 主要考 第 9 页 共 16 页 查学生的运算能力和转化能力 属于基础题型 11 答案 C 解析 分析 本题考查椭圆的标准方程及其离心率的范围 注意运用直线恒过圆心 以及点差法求直 线的
16、斜率 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 求得直线恒过定点 2 1 即为圆心 CD 为直径 由 可得 AB 的中点为 2 1 设 A x1 y1 B x2 y2 运用点差法和直线的斜率公式 中点坐标公式 即 可得到所求离心率的范围 解答 解 直线 l kx y 2k 1 0 即为 k x 2 1 y 0 可得直线恒过定点 2 1 圆 C2 x 2 2 y 1 2 1 的圆心为 2 1 半径为 1 且 C D 为直径的端点 由 可得 AB 的中点为 2 1 设 A x1 y1 B x2 y2 则 1 1 两式相减可得 0 由 x1 x2 4 y1 y2 2 可得 k 由 2 k 1 即有 1 则椭圆的离心率 e 0 故选 C 12 答案 D 解析 分析 本题考查的知识点是函数的最值 能正确理解 f x 为 三角形函数 的概念是解答的 关键 属于中档题 若 f x 为 三角形函数 则在区间 A 上 函数的最大值 M 和最小值 m 应满足 M 2m 利用导数求出函数的最值 可得实数 m 的取值范围 解答 解 若 f x 为区域 A 上的 三角形函数 则在区间 A 上 函数的最大值 M 和最
