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1、第 1 页 共 12 页 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 1 已知 x R 则 x 0 是 x 1 的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 2 下列函数中 值域为 0 的是 A y 2xB C y lnxD y cosx 3 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 点 P 是棱 CC1的中点 设 直线 AB 为 a 直线 A1D1为 b 对于下列两个命题 过 点 P 有且只有一条直线 l 与 a b 都相交 过点 P 有且只 有一条直线 l 与 a b 都成 45 角 以下判断正
2、确的是 A 为真命题 为真命题B 为真命题 为假命题 C 为假命题 为真命题D 为假命题 为假命题 4 某港口某天 0 时至 24 时的水深 y 米 随时间 x 时 变化曲线近似满足如下函数 模型 y 0 5sin x 3 24 0 若该港口在该天 0 时至 24 时内 有且只 有 3 个时刻水深为 3 米 则该港口该天水最深的时刻不可能为 A 16 时B 17 时C 18 时D 19 时 二 填空题 本大题共 12 小题 共 54 0 分 5 已知 A 1 2 3 4 5 B 2 4 6 8 则 A B 6 方程 2x 3 的解为 7 行列式的值为 8 计算 9 若圆锥的侧面面积为 2 底面
3、面积为 则该圆锥的母线长为 10 已知向量 则 BAC 11 2 位女生 3 位男生排成一排 则 2 位女生不相邻的排法共有 种 12 已知点 2 y 在角 终边上 且 tan 2 则 sin 13 近年来 人们支付方式发生巨大转变 使用移动支付购买商品已成为一部分人的消 费习惯 某企业为了解该企业员工 A B 两种移动支付方式的使用情况 从全体员 工中随机抽取了 100 人 统计了他们在某个月的消费支出情况 发现样本中 A B 两种支付方式都没有使用过的有 5 人 使用了 A B 两种方式支付的员工 支付金 额和相应人数分布如表 支付金额 元 支付方式 0 1000 1000 2000 大于
4、 2000 使用 A18 人29 人23 人 第 2 页 共 12 页 使用 B10 人24 人21 人 依据以上数据估算 若从该公司随机抽取 1 名员工 则该员工在该月 A B 两种支 付方式都使用过的概率为 14 已知非零向量 两两不平行 且 设 x y R 则 x 2y 15 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 an a1 a2 an n N 记数列 an 的前 n 项和为 Sn 若对所有满足条件的 an S10的最大值为 M 最小值为 m 则 M m 16 已知函数 f x x a 若对任意实数 a 关于 x 的不等式 f x m 在区间 上总有解 则实数 m 的取值范围为 三
5、解答题 本大题共 5 小题 共 76 0 分 17 如图 底面为矩形的直棱柱 ABCD A1B1C1D1满足 AA1 4 AD 3 CD 2 1 求直线 A1C 与平面 AA1D1D 所成的角 的大小 2 设 M N 分别为棱 BB1 CD 上的动点 求证 三棱 锥 N A1AM 的体积 V 为定值 并求出该值 18 在复平面内复数 z1 z2所对应的点为 Z1 Z2 O 为坐标原点 i 是虚数单位 1 z1 1 2i z2 3 4i 计算 z1 z2与 2 设 z1 a bi z2 c di a b c d R 求证 z1 z2 并指出向量 满足什么条件时该不等式取等号 19 如图 某城市有
6、一矩形街心广场 ABCD 如图 其中 AB 4 百米 BC 3 百米 现将在其内部挖掘一个三角形 水池 DMN 种植荷花 其中点 M 在 BC 边上 点 N 在 AB 边 第 3 页 共 12 页 上 要求 MDN 1 若 AN CM 2 百米 判断 DMN 是否符合要求 并说明理由 2 设 CDM 写出 DMN 面积的 S 关于 的表达式 并求 S 的最小值 20 已知数列 an 各项均为正数 Sn为其前 n 项的和 且 an Sn an2 n N 成等差数 列 1 写出 a1 a2 a3的值 并猜想数列 an 的通项公式 an 2 证明 1 中的猜想 3 设 bn tan 1 t 0 Tn
7、为数列 bn 的前 n 项和 若对于任意 n N 都有 Tn bm m N 求实数 t 的值 21 已知函数 f x x x a 其中 a 为常数 1 当 a 1 时 解不等式 f x 2 2 已知 g x 是以 2 为周期的偶函数 且当 0 x 1 时 有 g x f x 若 a 0 且 求函数 y g x x 1 2 的反函数 3 若在 0 2 上存在 n 个不同的点 xi i 1 2 n n 3 x1 x2 xn 使得 f x1 f x2 f x2 f x3 f xn 1 f xn 8 求实数 a 的取值范 围 第 4 页 共 12 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 由题
8、意可知 x R x x 0 x x 1 x 0 是 x 1 的必要不充分条件 故选 B 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 是基础题 2 答案 A 解析 解 选项 A 的值域为 0 选项 B 的值域为 0 选项 C 的值域 为 R 选项 D 的值域为 1 1 故选 A 由指数函数 幂函数 对数函数及余弦函数的性质直接得解 本题考查常见函数的值域 属于简单题 3 答案 B 解析 解 直线 AB 与 A1D1 是两条互相垂 直的异面直线 点 P 不在这两异面直线中的任 何一条上 如图所示 取 BB1的中点 Q 则 PQ A1D1 且 PQ A1D1
9、设 A1Q 与 AB 交于 E 则点 A1 D1 Q E P 共 面 直线 EP 必与 A1D1 相交于某点 F 则过 P 点有 且只有一条直线 EF 与 a b 都相交 故 为真 命题 分别平移 a b 使 a 与 b 均经过 P 则有两条互相垂直的直线与 a b 都成 45 角 故 为假命题 为真命题 为假命题 故选 B 作出过 P 与两直线相交的直线 l 判断 通过平移直线 a b 结合异面直线所成角的概 念判断 本题考查立体几何图形中直线和平面的相交 平行 垂直的性质 体现了数形结合的数 学思想 是中档题 4 答案 D 解析 解 由题意可知 x 0 时 y y 0 5sin x 3 2
10、4 3 75 由五点法作图可知 如果当 x 16 时 函数取得最小值可得 16 可得 第 5 页 共 12 页 此时函数 y 0 5sin x 3 24 函数的周期为 T 14 该港口在该天 0 时至 24 时内 有且只有 3 个时刻水深为 3 米 满足 如果当 x 19 时 函数取得最小值可得 19 可得 此时函数 y 0 5sin x 3 24 函数的周期为 T x 24 时 y 0 5sin 24 3 24 3 如图 该港口在该天 0 时至 24 时内 有且只有 3 个时刻水深为 3 米 不满足 故选 D 本题是单选题 利用回代验证法 结合五点法作图以及函数的最值的位置 判断即可 本题考
11、查三角函数的模型以及应用 三角函数的周期的判断与函数的最值的求法 考查 转化思想以及数形结合思想的应用 是难题 5 答案 2 4 解析 解 A 1 2 3 4 5 B 2 4 6 8 A B 2 4 故答案为 2 4 找出 A 与 B 的公共元素 即可确定出交集 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 6 答案 x log23 解析 解 2x 3 指数式化为对数式得 x log23 故答案为 x log23 把指数式化为对数式即可求出方程的解 本题主要考查了指数式与对数式的互化 是基础题 7 答案 5 解析 解 2 2 1 1 5 故答案为 5 直接代行列式公式可求 本题考查
12、行列式 属于基础题 8 答案 2 解析 解 2 故答案为 2 直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可 本题考查数列的极限的求法 运算法则的应用 是基础题 9 答案 2 解析 解 圆锥的底面积为 圆锥的底面半径为 r 满足 r2 解得 r 1 又 圆锥的侧面积为 2 设圆锥的母线长为 l 可得 rl 2 1 l 2 解之得 l 2 故答案为 2 第 6 页 共 12 页 根据圆面积公式算出底面半径 r 1 再由圆锥侧面积公式建立关于母线 l 的方程 解之 即可得到该圆锥的母线长 本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积 求它的母线长 着重考查了圆的面积公式和圆锥 侧面积公式等知识 属于基础题 10 答
13、案 解析 解 向量 则 cos BAC BAC 故答案为 由题意利用两个向量的夹角公式 求得 BAC 的值 本题主要考查两个向量的夹角公式 属于基础题 11 答案 72 解析 解 根据题意 分 2 步进行分析 将 3 位男生排成一排 有 A33 6 种情况 3 名男生排好后有 4 个空位可选 在 4 个空位中 任选 2 个 安排两名女生 有 A42 12 种情况 则 2 位女生不相邻的排法有 6 12 72 种 故答案为 72 根据题意 分 2 步进行分析 将 3 位男生排成一排 3 名男生排好后有 4 个空 位可选 在 4 个空位中 任选 2 个 安排两名女生 由分步计数原理计算可得答案 本
14、题考查排列 组合的应用 涉及分步计数原理的应用 属于基础题 12 答案 解析 解 由题意可得 tan tan tan 2 tan 2 解可得 y 4 sin 故答案为 结合三角函数的定义及诱导公式可求 y 然后即可求解 本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系 考查运算能力 是基本知识的考 查 13 答案 解析 解 依题意 使用过 A 种支付方式的人数为 18 29 23 70 使用过 B 种支付方式的人数为 10 24 21 55 又两种支付方式都没用过的有 5 人 第 7 页 共 12 页 所以两种支付方式都用过的有 70 55 100 5 30 所以该员工在该月 A B 两种支付方
15、式都使用过的概率 P 故答案为 根据题意 计算出两种支付方式都使用过的人数 即可得到该员工在该月 A B 两种支 付方式都使用过的概率 本题考查了古典概型的概率 主要考查计算能力 属于基础题 14 答案 3 解析 解 因为非零向量 两两不平行 且 m n x y R x y 1 x 2y 3 故答案为 3 先根据向量共线把 用 和 表示出来 再结合平面向量基本定理即可求解 本题考查实数值的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意平面向量基本定理以及向 量共线的合理运用 15 答案 1078 解析 解 因为数列 an 满足 a1 1 an 1 an a1 a2 an n N a2 a1 a1 a2
16、 a1 a1 1 a2 2 a3 a2 a1 a2 a3 a2 1 或者 a3 a2 2 a3 3 或者 a3 4 a4 a3 a1 a2 a3 a4 a3 1 a4 a3 2 a4 a3 3 a4 a3 4 a4最小为 4 a4最大为 8 所以 数列 S10的最大值为 M 时是首项为 1 公比为 2 的等比数列的前十项和 M 1023 S10取最小值 m 时 是首项为 1 公差为 1 的等差数列的前十项和 m 10 1 55 M m 1078 故答案为 1078 根据数列的递推关系 求出数列的前四项的最大 最小值 得出何时和最大 何时和最 小 进而求得结论 本题考查了数列的递推关系式 等比数列以及等差数列的通项公式与前 n 项和公式 考 查了推理能力与计算能力 属于中档题 本题的关键在于观察出数列的规律 第 8 页 共 12 页 16 答案 解析 解 由题意 y x 在区间上的图象如下图所示 根据题意 对任意实数 a 关于 x 的不等式 f x m 在区间上总有解 则只要找到其中一个实数 a 使得函数 f x x a 的最大值最小即可 如图 函数 y x 向下平移到一定才程度时 函数
