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1、四弦切角的性质学习目标1.理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题.2.理解弦切角定理，并能应用定理证明相关的几何问题.知识链接1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？提示前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？提示在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3.如下图，圆周角CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆
2、相切时，停止旋转，得BAE.这时BAE还是圆周角吗？为什么？提示不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角.预习导引1.弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫作弦切角.弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图；(2)圆心在角的一边上，如图；(3)圆心在角的内部，如图.2.弦切角定理文字语言弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角符号语言AB与O相切于点A，AC与O相交于点A，C，点D在O上，但不在弦切角BAC所夹的弧上，则BACADC图形语言作用证明两个角相等要点一利用弦切角定理求角例1如图，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD
3、DB，G为中点，F为上任一点.求证：CFGEFD.证明连接CD，AB切圆于D点，CDBDFC.G为的中点，CDBDFC2CFG.D为直角三角形ACB的斜边中点，CDAD，CDB2DCE.DCEEFD，CFGEFD.规律方法1.本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理.2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角.跟踪演练1如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35，则D_.解析如图，连接BD，由弦切角定理知：AD
4、BMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125.答案125要点二利用弦切角定理证明线段成比例例2如图所示，梯形ABCD内接于O，ADBC，过B点引O的切线分别交DA的延长线和CA的延长线于E，F点.(1)求证：AB2AEBC；(2)已知BC8，CD5，AF6，求EF的长.证明(1)BE切O于B，ABEACB.又ADBC，EABABC，EABABC，AB2AEBC.解(2)由(1)知EABABC，.又AEBC，.又ADBC，ABCD，EF.规律方法1.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相
5、似处理.2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.跟踪演练2如图，PA，PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2CECF.证明连接CA，CB.PA，PB是O的切线.CAPCBA，CBPCAB.又CDAB，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，即CD2CECF.要点三弦切角定理综合应用例3如图所示，以ABD的边AB为直径作半圆O交AD于C点，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E点.求证：ABBD.证法1如图所示，连接OC.CE是O的切线
6、，OCCE.又BDCE，OCBD，ACOD.又OAOC，ACOA，AD，ABBD.证法2由证法1知OCBD.又AOBO，ACCD，OCBD.又OCAB，ABBD.规律方法借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等.跟踪演练3如图所示，割线PBA过圆心O，PT为O的切线，T为切点，APT的平分线PD分别交BT，AT于C，D.求证：CTD为等腰三角形.证明TDCAAPT，PT是圆O的切线，PTBA.在PTC中，TCDBTPAPT，TDCTCD，CTD为等腰三角形.(1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等
7、，则这两个弦切角也相等.(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上，两边和圆相交的角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角图形角与弧的关系AOB的度数的度数ACB的度数的度数ACB的度数的度数1.如图所示，AB是O的一条弦，EC与O相切于点B，D是O上的任一点(不与A，B重合)，则下列为弦切角的是()A.ADBB.AOBC.ABC D.BAO解析ADB是圆周角，AOB是圆心角，ABC是弦切角，BAO不是弦切角
8、.答案C2.如图所示，MN与O相切于点M，Q和P是O上两点，PQM70，则NMP等于()A.20 B.70C.110 D.160解析NMP是弦切角，NMPPQM70.答案B3.已知AB切O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31，则夹劣弧的弦切角BAC_.解析优弧与劣弧之比为31，劣弧所对的圆心角为90，所对的圆周角为45，故由弦切角定理可知，弦切角BAC45.答案454.如图，O的弦AB的延长线和切线EP相交于点P，E为切点，APE的平分线和AE，BE分别相交于C，D.求证：ECED.证明PE切O于点E，BEPA，PC平分APE，34，又13A，24BEP，12，ECED.一、基础达标
9、1.已知，如图，PA切O于点A，BC是O的直径，BC的延长线交AP于P，AEBP交O于E，则图中与CAP相等的角的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析如图所示，连接OA，OE，则AOE为等腰三角形.OCAE，OC垂直平分AE，ACE为等腰三角形，EACAECCAPABP.答案C2.如图所示，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则P等于()A.15 B.20C.25 D.30解析如图，连接BC，PC是O的切线，PCBCAB35.又PBCCABACB3590125，P1801253520.答案B3.如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，
10、AD2，AB6，则AC的长为()A.2 B.3C.2 D.4解析如图，连接BC，由AB是直径，得ACBC，由弦切角定理可知，ACDABC，ABCACD，AC2ABAD6212，AC2.答案C4.如图所示，已知AB和AC分别是O的弦和切线，A为切点，AD为BAC的平分线，且交O于D，BD的延长线与AC交于C，AC6，AD5，则CD_.解析由AC为切线，得CADB.由题意知CADBAD，DABB，ADBD5.又CADB，CC，ACDBCA，即CDBCAC2，CD(BDCD)AC2，即CD(5CD)36，解得CD4(负值舍去).答案45.如图所示，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，D是优弧
11、BC上的点，已知BAC80，那么BDC_.解析连接OB，OC，则OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDCBOC50.答案506.如图所示，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于点E，求证：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.二、能力提升7.如图所示，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，C是上的一点，已知O半径为r，PO2r，设PACPBC，APB.则，的大小关系是()A. B.C. D.不能确
12、定解析如图，连接OA，OB，则OAPA，又PO2r2OA，APO30，APB60，POAPOB60，又PACPBCAOB60，.答案B8.如图，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为点D，则线段CD的长为_.解析因为圆O的直径AB6，C为圆周上一点，则ACBC，从而cosCBA.又因为l是圆O的切线，由弦切角定理得DCACBA，从而cosDCAcosCBA.又因为ADCD，所以CDACcosDCA.答案9.如图，已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC，PAB30，则线段PB的长为_.解析如图，连接OA，又PA为O切线，OAP90，CPAB30，OBAOAB60，PPAB30，PBAB.又AC，BC为O直径，CAB90，AB1，PB1.答案110.如图，AD是ABC的角平分线，经过点A，D的O和BC切于D，且与AB，AC相交于E，F.求证：EFBC.证明如图所示，连接DF.DC是O的切线，42.又AD平分BAC，12，41.又由圆周角定理得13，34，EFBC.11.如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明(1)FEBCE
