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1、湖南省郴州市2020届高三数学第一次教学质量监测（12月）试题 理一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=，B=，则A. C. D. B. 2.若复数为纯虚数，则实数A.-2B.-1 C.1 D.23.下列结论中正确的个数是在中，若sin24=sin2B，则是等腰三角形；在中，若 sinAsinB，则AB两个向量共线的充要条件是存在实数，使等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.A. 0B.1C.2 D. 34.已知向量=(2,3)，且，则向量在方向上的投影为A. C. D. B. 5.郴州市某校高一（10)班到井冈山研学旅行
2、，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一(10)班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线A.24B.18C.16D.106.函数的大致图象是7.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gui)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 ).二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气(立秋)晷长是 A.五寸
3、B. 二尺五寸C.五尺五寸 D. 四尺五寸8.已知满足约束条件，若的最大值是16,则的值为A.2 B. C.4 D. 9.已知双曲线的左、右焦点分别为,圆上的点到直线的距离最小值为，若双曲线上一点P，使，则的值为A.3 B.2 C.-3 D.-210.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在(a，b)上的导函数为，在(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上恒成立，则称函数在(a，b)上为“凸函数已知在（1，4)上为“凸函数”，则实数的取值范围是 A.B. C. D. 11.已知函数，若正实数满足，则的最
4、小值为A.7 B. C. D. 12.在边长为的菱形ABCD中，沿对角线BD对折，使得A到A，且，则四面体外接球表面积为A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13. 展开式中的常数项为 .14. 设等差数列满足，则数列的前项和为 .15.如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆.过B作BD丄AC，与半圆相交于D，AC=8,BD=，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是 .16.已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 .三、解答题：共70分，解答应写出文
5、字说明，演算步骤或证明过程.17题-21题为必考题. 22题、23题为选考题.17.(本小题满分12分） 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量与向量共线.(I)求角B的大小；(II)若，且CD=1，AD=，求三角形ABC的面积.18.(本小题满分12分） 如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC=45，AB=，BC=2AE=2, 是等腰三角形.(I )求证：CD丄平面PAC;(II)求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分）郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶
6、8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(I)求六月份这种饮料一天的需求量X(单位:瓶）的分布列；(II)设六月份一天销售这种饮料的利润为Y(单位:元），当六月份这种饮料一天的进货量n(单位:瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？20.(本小题满分
7、12分） 已知点在椭圆上，点为平面上一点，0为坐标原点.(I)当取最小值时，求椭圆E的方程；(II)对(1)中的椭圆E，P为其上一点，若过点Q(2,0)的直线与椭圆E相交于不同的 两点S和T，且满足，求实数的取值范围.21.(本小题满分12分） 设函数，其中是自然对数的底数.(I)若在上存在两个极值点，求的取值范围；(II)当,设，若在上存在两个极值点，且，求证：.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，且，以原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(I)求曲线C的普通方程与直线的直角坐标方程；(II)设点M在曲线C上，求点M到直线距离的最小值与最大值.23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设.(I)求不等式的解集；(II)若对任意的，使得，求实数的取值范围.- 10 -
