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1、12.2同角三角函数的基本关系明目标、知重点1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan (k，kZ)2同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2cos21的变形公式：sin21cos2；cos21sin2；(2)tan 的变形公式：sin cos tan ；cos .情境导学大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风这就是著名的“蝴
2、蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题21cnjycom探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sin cos tan sin2cos2301451116011501联系：sin230cos2301，sin245cos2451，sin260cos2601，sin2150cos21501；tan 30，tan 45，tan 60，
3、tan 150.同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切；sin2cos21，tan .思考2如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？www-2-1-cnjy-com答设点P(x，y)为终边上任意一点，P与O不重合P到原点的距离为r0，则sin ，cos ，tan .于是sin2cos2()2()21，tan .即sin2cos21，tan .同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义所以sin2cos21对于任意角R都成立，而tan 并不是对任意角R都成立，这时k，kZ.思考3对于平方关系sin2cos21可
4、作哪些变形？对于商数关系tan 可作哪些变形？ 2-1-c-n-j-y答sin21cos2，cos21sin2(sin cos )212sin cos ，(sin cos )212sin cos ，sin cos tan ，cos .探究点二三角函数式的求值思考已知某角的一个三角函数值，再利用sin2cos21求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解例如：已知sin ，且是第二象限角，则cos ，tan .类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正
5、负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解21*cnjy*com例如：已知tan ，求sin ，cos .答tan .sin cos .由4cos21，cos2.当为第二象限角时，cos ，sin ；当为第四象限角时，cos ，sin .类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论例如：已知cos m，且|m|1，求sin ，tan .答cos m，且|m|1，sin .当在第一、二象限时，sin ，tan ；当在第三、四象限时，sin ，tan ；当终边在y轴上时，sin 1，tan 不存在例1已知sin ，求cos ，tan 的值解因为s
6、in 0，sin 1，所以是第三或第四象限角由sin2cos21得cos21sin212.如果是第三象限角，那么cos 0.于是cos 从而tan .如果是第四象限角，那么cos ，tan .反思与感悟同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用【来源：21cnj*y.co*m】跟踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值解由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .探
7、究点三三角函数式的化简三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累【出处：21教育名师】例2已知是第三象限角，化简： .解原式 .是第三象限角，cos 0.原式2tan .即 2tan .反思与感悟解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切
8、实分析好同角三角函数间的关系化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解(4)关于sin ，cos 的齐次式的求值方法：sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，如可化为，再代入求值若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2
9、，可化为关于tan 的式子，如3sin22cos2可写成，进一步化为，再代入求值【版权所有：21教育】跟踪训练2已知tan 3，则(1) ；(2)sin23sin cos 1 .答案(1)1(2)1解析(1)1；(2)sin23sin cos 11.探究点四三角恒等式的证明证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；21教育名师原创作品综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价
10、转化的思想；中间量法：证明等式左右两式都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“ac，bc，则ab”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；分析法：从结论出发，逐步向已知找条件，其证明过程的书写格式为“要证明，只需”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立；21*cnjy*com比较法：设法证明：“左边右边0”或“1”例3求证：.证明方法一左边右边，原等式成立方法二sin2cos21，cos21sin2.cos2(1sin )(1sin ).方法三右边左边，原等式成立方法四左边，右边，左边右边，原等式成立方法五0，.反思与感悟证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化
11、简证明三角恒等式的基本原则：由繁到简常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证常用技巧：切化弦、整体代换www.21-cn-跟踪训练3求证：.证明方法一左边右边原式成立方法二右边；左边.左边右边，原式成立1化简： .答案cos 40sin 40解析原式|cos 40sin 40|cos 40sin 40.2已知是第三象限角，sin ，则tan .答案解析由是第三象限的角，得到cos 0，又sin ，所以cos ，则tan .3若是第三象限角，化简 .解是第三象限角，sin 0，由三角函数线可知1cos 0. .4求证：.证明左边右边原等式成立呈重点、现规律1同角三角函数的基本关系揭示了“同
12、角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos221，tan 8等都成立，理由是式子中的角为“同角”2已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择一般是先选用平方关系，再用商数关系在应用平方关系求sin 或cos 时，其正负号是由角所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象写公式【来源：】3在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值21世纪*4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：“1”的代换；减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解一、基础过关1已知是第二象限角，sin ，则cos 等于 ()A BC. D.答案A解析因为为第二象限角，所以cos .2已知sin ，则sin4cos4的值为()A BC. D.答案B解析sin4cos4sin2cos22
