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1、云南省玉溪市峨山一中2020届高三数学上学期第二次适应性考试试题 理(考试时间:120分钟;全卷满分:150分)一、选择题:(本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合,则( )A.B. C. D.2.已知为实数,若复数为纯虚数,则( )A. B. C. D.3.的值等于( )A. B. C. D.4.若,则的大小关系为( )A B C. D5.在半径为2的圆形纸板中间,有一个边长为2的正方形孔,现向纸板中随机投飞针,则飞针能从正方形孔中穿过的概率为( )A. B. C. D. 6. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题
2、:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的( )A. 5 B. 4C. 3 D. 97.的展开式中,含吧的项的系数是( )A. B. C. D.8.函数的大致图像是( )9.等差数列的首项为2,公差不等于0,且,则数列的前2019项和( )A. B. C. D. 10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6,那么该双曲线的离心率为( )A B C D11. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上,和所在平面互相垂直,,则球的体积为( )AB C D12.已知函数,若函数有个零
3、点,则实数的取值范围是( )A. B C. D二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分共20分.)13已知满足不等式组则的最小值为_14曲线在处的切线的倾斜角为_15各项均为正数的等比数列的前项和为,已知,则_16已知点在圆和圆的公共弦上,则的最小值为_三、解答题:(解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知,设(1)求的解析式并求出它的周期;(2)在中,角所对的边分别为,且,求的面积18 (本小题满分12分)如图,是半圆的直径,是半圆上除外的一个动点,垂直于半圆所在的平面,/,.(1) 证明:平面;(2) 当点为半圆的中点时,求二面角的正弦值.19.(本小题满分1
4、2分)随着经济的发展,个人收入的提高,自2019年1月1日起,个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:个人所得税税率表(调整前)个人所得税税率表(调整后)免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率(%)级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元部分31不超过3000元部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20.(1)假如小明某月
5、的工资、薪金等税前收入为7500元,请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少?(2)某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:收入(元)人数403010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员,用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数,求的分布列与数学期望.20(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,一个长轴顶点在直线上,若直线与椭圆交于两点,为坐标原点,直线的斜率为,直线的斜率为.(1)求该椭圆的方程;(2)若,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.2
6、1.(本小题满分12分)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,证明: (其中e为自然对数的底数).选做题:考生在第22题,23题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分,作答时写清题号,(本题满分10分)22.已知过点的直线l的参数方程是(为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于,两点,试问是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.23.已知,函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的最小值为,求的值,并求的最小值理科数学参考答案一、选择题(本
7、大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案CDBBDBCCBADA二、填空题(本大题共4小题,每小题5分共20分)13141516215016三、解答题17.解析:(1)由,则,即函数的周期,故,周期为 (6分)(2)因为,所以, 所以,又, 所以, 所以,又,由余弦定理得: ,所以, 所以,即. (12分) 18.证明:(1)因为是半圆的直径, 所以因为平面,所以,又,所以平面,/,,四边形为平行四边形/ 平面 (6分)(2) 依题意,,如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,所以,设平面的法向量为 则 得
8、设平面的法向量为 则 得所以所以二面角的正弦值为. (12分)19.解析:(1)按调整起征点前应纳税为:;按调整起征点后应纳税为:; 元所以小明实际收入增加了元. (4分)(2) 由频数分布表可知抽取的7人中占4人,中占3人的取值可能值; ; ;所以的分布列为: (12分)20.解析:(1)由,又由于,一个长轴顶点在直线上,可得:,.故此椭圆的方程为. (4分)(2)设,当直线的斜率存在时,设其方程为,联立椭圆的方程得:,由,可得,则,又点到直线的距离,由于,可得:,故,当直线的斜率不存在时,可算得:,故的面积为定值1. (12分)21.解析:(1)由题意,函数的定义域为, 当时,恒成立,故的
9、递增区间为;当时,在区间,时,时,所以的递增区间为,递减区间为;当时,在区间,时,时,所以的递增区间为,递减区间为; (5分) (2)当时,由,只需证明. 令 ,.设,则. 当时,单调递减;当时,单调递增,当时,取得唯一的极小值,也是最小值. 的最小值是 成立.故成立. (12分)22.解析:(1)消由 直线的普通方程为由, 曲线的直角坐标方程为 (5分)(2)由于曲线的直角坐标方程为,则圆心(3,0),所以圆心到直线的距离 ,根据垂径定理可得, 即,可求得 实数. (10分)23.解析:(1)当时,不等式即,化为当时,化为:,解得;当时,化为:,化为:,解得;当时,化为:,解得综上可得:不等式的解集为:; (5分)(2)由绝对值三角不等式得,由柯西不等式得,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为 (10分)- 12 -