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1、辽宁省凤城市第一中学2020届高三数学12月月考试题 理 一.选择题：（每题5分，共计60分）1为虚数单位，则（ ）AB1CD-12已知集合，关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是( )A(，1B(，1)C(1，)D1，)3函数的图像大致是（ ）AB C D4在中，若为的中点，为中点，则（ ）ABCD5已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD6在中三条边，成等差数列,且，则的面积为（）ABCD7设等差数列的前项和为，若，则等于A18B36C45D608孙子算经中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给
2、有巨大贡献的人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（）ABCD9正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ）ABCD10将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上,则的取值范围是( )ABCD11定义在上的偶函数满足，且当时，函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的的个数是（ ）A9B10C11D1212函数在上有两个零点，则实数的取值范围是A B C D二填空题（每题5分，共计20分）13曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为_14已知，且，则_.15已知不等式，若对任意且任意，该不等式
3、恒成立，则实数的取值范围是 16已知球的表面上三点、满足：，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则、两点的球面距离是_.三解答题17（12分）已知正项等比数列满足，数列满足. （1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.18（12分）已知在平面直角坐标系中，动点与两定点连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于两点，曲线上是否存在点使得四边形为平行四边形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.19.（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布
4、直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420（12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，. （1）证明：直线平面（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求平面与平面所成的二面角的正弦值.
5、21（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.二选一，从22和23选一道作答22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于两点（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围23（本小题满分10分）已知（）当时，求不等式的解集；（）若，求证：.参考答案1B 2A 3D 4A 5D 6B 7C 8C 9D 10B 11C 12B13 14 15 1617（1）设等比数列的公比为，则，由可得，即，
6、解得，.2分；.4分（2）由（1）可得，可得，上式下式，得，因此，；.8分（3），即，则有.所以，数列是单调递减数列，.10分则数列的最大项为.由题意可知，关于的不等式对任意的恒成立，.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则在时的最小值为，因此，实数的取值范围是.12分18解：（1）设，有，得，.2分整理得，曲线的方程为；.4分（2）假设存在符合条件的点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为由，得：.6分则由四边形为平行四边形，得.8分点坐标代入方程得：，解得.10分此时，但，所以不存在点使得四边形为平行四边形.12分19解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；.
7、2分（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），.3分填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，.6分所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；.7分（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，故，.所以的分布列为：.10分01234数学期望为.或（）.12分20（1）取CD中点O,连接MO，平面平面，则平面平面，所以MOAB.2分 又面MCD，面MCD,所以面
8、MCD.4分（2）取中点，连，则，又平面平面，则平面.以为原点，直线、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.，则各点坐标分别为，（2）设直线与平面所成的角为.因，平面的法向量为，.6分则有，所以.8分（2），.设平面的法向量为，由得.解得，取，.10分又平面的法向量为，则设所求二面角为，则.12分21【详解】（1）解：由题意得 ，.1分当时，在上恒成立，在上单调递增；.2分当时，令则；令则，在上单调递增，在单调递减； .4分（2）证明：当时， ， .6分令，.8分则，.10分设，则，在上单调递增，.12分22试题解析：（1）曲线的方程为，其为圆心为，半径为的圆.2分又当时，直线，所以圆心到到直线的距离为，所以.5分（2）设为相应参数值，由，得，.8分.10分23（）当时，不等式可化为：，或，或解得：.3分或，故不等式的解集为.5分（），.7分.9分（当且仅当即即时取等号）.10分- 12 -
