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1、. . . .第（1）次课 授课时间（ ）教学章节第一章第一、二、三节学时2学时教材和参考书1.线性代数(第4版)同济大学编1. 教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算； 掌握逆序数的定义, 并会计算；掌握阶行列式的定义；2. 教学重点：逆序数的计算；3.教学难点：逆序数的计算. 1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示. 基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组 用消元法,当 时,解得 令 ,
2、称为二阶行列式 ,则 如果将D中第一列的元素, 换成常数项, ,则可得到另一个行列式,用字母表示,于是有按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：,这就是公式（2）中的表达式的分子。同理将中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母表示,于是有 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：,这就是公式（2）中的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为 其中例1. 解线性方程组 同样,在解三元一次方程组时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组用消元法解得 定义 设有9个数排成3行3列的数表 记 ,称为三阶行列式
3、,则 三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 .(-14)例3. 求解方程（）例4. 解线性方程组 解 先计算系数行列式 再计算 ,得 ,第二节 全排列及其逆序数引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？一、全排列 把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列（简称排列）.可将个不同元素按进行编号,则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列.个不同元素的全排列共有种. 二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元
4、素的次序相反时,则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即的全排列中取为标准排列. 逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列. 例1: 讨论的全排列. 全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算：设为的一个全排列,则其逆序数为 .其中为排在 前,且比大的数的个数. 例2：求排列的逆序数. 解：(对于逆序数的计算介绍另一种算法)第三节 阶行列式的定义下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式. 二阶行列式 .其中： 是 的全排列,是的逆序数,是对所
5、有的全排列求和. 三阶行列式 其中:是的全排列,是的逆序数,是对所有的全排列求和. 其中: 是的全排列,是的逆序数, 是对所有的全排列求和. 例1.计算对角行列式: 例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是,未写出的元素都为0）, 证明: 按定义式例3.证明下三角行列式.证明:按定义式得.以上,阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式. 回顾和小结小结：1. 二三阶行列式的定义； 2. 全排列及其逆序数； 3. 阶行列式的定义。复习思考题或作业题思考题：1.计算三阶行列式 2.求排列的逆序数.作业题：习题一：第1（1,3）、2（2,4
6、,6）实施情况及分析1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式；2.对其逆序数等方面的应用有待加强.第（ 2 ）次课 授课时间（ ）教学章节第一章第四、五节学时2学时教材和参考书线性代数(第4版)同济大学编1. 教学目的：掌握对换的概念；掌握阶行列式的性质，会利用阶行列式 的性质计算阶行列式的值；2. 教学重点：行列式的性质；3. 教学难点：行列式的性质.1. 教学内容：对换；行列式的性质；2. 时间安排：2学时；3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示. 基本内容备注第四节 对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余
7、元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调,叫做相邻对换例： .定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立定理2：阶行列式为： 其中为的逆序数.（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）（补充）定理3 阶行列式也可定义为其中和 是两个级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.练习：试判断和是否都是六阶行列式中的项.第五节 行列式的性质转置行列式的定义 记 = ()行列式称为行列式的转置行
8、列式（依次将行换成列）一、阶行列式的性质性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.如: 以r表示第i行，表示第j列.交换两行记为,交换i,j两列记作.性质 2：行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零. 性质 3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 ,等于用数乘以该行列式. 推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外. 性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零. 性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式
9、之和. 即若 则 +.性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变. 二、阶行列式的计算：例1. 计算.解： .例2. . (推广至阶，总结一般方法)例3. 证明：.证明： 左端.例4. 计算阶行列式.(利用递推法计算)例5. ， 证明： .回顾和小结小结：对换和阶行列式的性质与计算1. 对换的定义及两个定理; 2. 阶行列式的性质与计算；复习思考题或作业题思考题：1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当于作几次相邻对换？把排列12345作偶数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？2.计算： .作业题：习题一：第3，4（2，4）,5(2,4,5
10、)实施情况及分析1.通过学习学员掌握了阶行列式的定义和对换的概念；2.对利用阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.第（ 3 ）次课 授课时间（ ）教学章节第一章第六节学时2学时教材和参考书1.线性代数(第4版)同济大学编；1. 教学目的：了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；2. 教学重点：行列式按行（列）展开；3. 教学难点：行列式按行（列）展开.1. 教学内容：行列式按行（列）展开；2. 时间安排：2学时；3. 教学方法：讲授与讨论相结合；4. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示. 基本内容备注 第六节 行列式按行（列）展开 定义 在阶行列式中，把元素所处的第行、第列划去
11、，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；而称为的代数余子式. 引理 如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，即： .则：. 证 先证简单情形： 再证一般情形： 定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 按行： 按列： 证： （此定理称为行列式按行（列）展开定理）例1：.解: 例2: 解: .从而解得 .例3证明范德蒙行列式.其中，记号“”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 所以，当n=2时，（4）式成立.现设（4）式对时成立，要证对时也成立.为此，设法把降阶；从第行开始，后行减去前行的倍，有（按第一列展开，并提出因子）阶范德蒙行列式=定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 按列： 结合定理及推论，得 ，其中例4. 计算行列式的值。回顾和小结小结：行列式按行（列）展开。1. 余子式和代数余子式的概念; 2. 行列式按行（列）展开;复习思考题或作业题思考题：设:求第一行各元素的代数余子式之和作业题：习题一:第7（2，3，5，6）实施情况及分析1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；2.对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.第（ 4 ）次课 授课时间（ ）
