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1、第13讲 多因子模型与APT 13 1 从绝对定价到相对定价 u绝对定价 均衡资产定价 利 用统一而完整的理论模型将各种因素糅合在一起 从无到有定出各类资产价格 并呈现出资产价格背 后的深层次逻辑 弊 数量上不够精确 实践中使用不便 u相对定价 无套利资产定价 以 一价定律 为基本思想 假设市场中不存在套利机会 实践中可以达到比绝对定价更高的精确度 需要以一些资产的价格为已知条件 方能定出与这些资产相关的其他资产的价格 除无套利外 无法对资产价格背后的深层次机制讲出太多道理 u绝对定价与相对定价代表资产定价的两条不同思路 各有利弊 不能说谁比谁更好 2 13 2 从单因子到多因子 uCAPM中
2、的证券市场线 SML u写成因子模型 factor model 的形式 资产的期望回报率受到一些共同因素的影响 这些共同的因素就是因子 factor 一个因子的解释力不够 就多加些因子进去 计量的思维 uFama与French提出的三因子模型 1993年 S MB是市值因子 表征了上市公司的规模大小 H ML是账面市值比 book to market 是公司的账面价值 除以公司股票总市值 3 13 3 多因子模型的直觉 C CAPM框架下的单因子模型 u把资产回报率向一些解释变量做回归 虽然总能得到回归方程和一些回归系数 但是 这个回归方程真的能够用来给其他资产定价吗 这些回归系数又该做何种解
3、读 u代表性消费的优化问题 w0是消费者在0期初财富 r w是资产市场中所有资产取得的总体回报率 一阶条件 u假设二次型效用函数 a是个很大的正数 4 13 3 多因子模型的直觉 C CAPM框架下的单因子模型 续 u随机折现因子 其中 u从随机折现因子到资产期望回报率 因此 其中 5 13 3 多因子模型的直觉 C CAPM框架下的多因子模型 u消费者除拥有初始财富w0外 还在0期与1期分别拥有工资性收入y0与y 1 且工资收入与资产市场总回报独立 cov y 1 r w 0 u二次型效用下 随机折现因子为 其中 6 13 3 多因子模型的直觉 C CAPM框架下的多因子模型 续 u资产期望
4、回报率为 其中 u因子 随机折现因子中不确定性的来源 因子是那些会影响人对资产选择的不同不确定性来源 为了补偿对因子不确定性的承担 资产需要根据自身回报率与各个因子的相 关性 在期望回报率中给出相应的风险溢价 7 套利资产定价理论 APT uAPT的思想 当所有资产的期望回报率都由一组共同的因子 不确定性来源 所决定的时候 基于 无套利的思想 不同资产期望回报率之间会具有某种线性关系 uAPT和因子模型相当抽象 既没有说因子是什么 该怎么去选取 也没有规定资产对各个因子的敏 感性如何估计 这恰恰是APT理论一般性 灵活性的体现 u三个概念 因子风险 factor risk 因子所带来的不确定性
5、 载荷 loading 因子前的系数 个体风险 idiosyncratic risk 与因子风险无关的剩余风险 i 8 13 4 1 精确单因子模型 u假设只有一个风险因子f 简化假设E f 0 所有资产个体风险为0 i 0 并记 ri E r i u构造一个组合r p 把我们正规化为1的总财富分配到两类资产上 组合中包含w份额的资产i与1 w份 额的资产j u选择w来让组合r p的因子载荷为0 将这样的组合权重叫做w0 u权重w0代回组合r p的表达式 得到一个无风险组合p0 9 13 4 1 精确单因子模型 续1 u由于p0是无风险组合 所以当市场不存在套利机会的时候 其期望回报率应该与无
6、风险利率rf相等 u上面的等式对任意资产i和j都成立 所以可以定义一个常数 为 u资产i的期望回报率必然满足 u构造组合p1使其因子载荷正好为1 组合p1中资产i的权重为w1 10 13 4 1 精确单因子模型 续2 u将w1代回组合p的表达式 11 将rf代入 的 表达式可得 13 4 1 精确单因子模型 续3 u对上式两边取期望 并注意到E f 0 可得 是因子载荷为1的资产的超额回报率 风险载荷为1的组合叫做因子组合 factor portfolio 其风险溢价 叫做因子溢价 factor premium u在精确单因子模型中 任何资产的期望收益率都可以表示为 u上式虽与CAPM中的证券
7、市场线 SML 形式类似 但有本质不同 CAPM中 市场组合的含义非常清楚 因子模型式中 组合p1没有那么明确的经济含义 只是因子载荷为1的资产而已 这既可以说成是因子 模型的模糊性 也可以说是其灵活性 CAPM基于均衡 APT基于无套利 12 13 4 2 多因子模型下的APT u单因子时的推导思路 由于资产数量大于因子数量 因而可以构造组合来消除因子风险 组合对因子的载荷为0 从而把不同资 产的期望回报率和它的 联系起来 再构造一个对某单一因子载荷为1的组合 因子组合 这个组合的风险溢价就是对应的 的价格 二者结合起来 得到了资产的定价方程 u多因子下的假设 K个会影响资产回报率的因子 N
8、种资产 N远大于K 因子和个体风险期望为0 E f k E i 0 因子方差为1 个体风险方差相等 E f k2 1 E i2 2K的时候 这个方程组是有解的 解可能不止一组 将解出的权重代回组合p的表达式 14 13 4 2 多因子模型下的APT 续2 ur p0的方差为 u当资产的数量很大时 N很大 每个权重就大概为1 N 因此 2 r p0 的量级就为 u由于个体风险的方差不是无穷大 所以当N 时 2 r p0 0 即消除了因子风险的组合几乎是无 风险的 u上式中的wi均为各个 的函数 因为wi是方程组的解 所以上式事实上是把各个资产的期望回报 率 ri表示成了无风险利率与 的函数 采用
9、单因子模型的思路可得 k为第k个因子的因子溢价 即对因子k的载荷为1 而对其他因子载荷为0的组合的风险溢价 15 13 5 对多因子模型的评论 u多因子模型 APT 提供了一个解释并预测不同资产回报率的非常灵活的框架 文献中已经提出了 数百个可供用来解释资产回报率的因子 u多因子模型加深了我们对风险的认识 系统风险并不仅仅只是整个市场或经济的波动 还可能来自 其他源头 某投资者收获了Alpha 既有可能确实是因为她投资能力强 也可能是因为她其实只 是承担了一些我们还未观测到的系统风险 u因子可以是那些直接可观测的变量 也可以是无法观测的因子 潜在因子 latent factor u样本内拟合和
10、样本外拟合的效果有重大差异 用当前的因子来解释当前资产收益率的差异 往往可以得到相当不错的拟合优度 R2甚至可以超过90 在预测性因子模型中 即用当前的因子预测未来资产收益率 拟合优度往往很低 R2甚至很难超过2 16 13 6 多因子模型的应用 对冲 u假设对某一资产r 0构建了如下的多因子模型 用其他N种资产的回报率 r n 来解释这种资产的回报 率 u估计出了上面的方程 也就找出了用N种资产来尽可能逼近资产r 0的方法 相应地 组合 n 0 nr n就 可以用来对冲资产r 0 uAlpha Beta分离 可转移Alpha 如果APT成立 那么回归方程中的截距项 0应该为0 但存在 0大于
11、0的可能性 一位杰出基金经理创造 了Alpha 只要 0稳定地为正 可以通过买入资产r 0 卖出组合 n 0 nr n来将 0给分离出来 获取稳定的收益 17 13 6 多因子模型的应用 因子选股 u一个因子代表了一个对股票期望回报率有解释力的因素 如果这种解释力很强 那么用因子来给所 有股票从好到坏排个序 买入排在前面的股票 卖出排在后面的股票 就应该能获得不错的回报 18 13 6 多因子模型的应用 统计套利 u总共有J只股票可选 这些股票的期望回报率受到总共K个因子的影响 对任何一只股票j 建立多 因子计量模型 股票j的期望回报率应该为 u做多 买入 那些实际回报率不及期望回报率的股票 做空 卖出 那些实际回报率高于期望回报 率的股票 u统计套利不是套利 长期资本管理公司 LTCM 的教训 19
