线性代数_行列式(完整版)

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1、第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组 成部分 它是研究矩阵 线性方程组 特征多项式的重要工具 本章介绍 了n阶行列式的定义 性质及计算方 法 最后给出了它的一个简单应用 克莱姆法则 第1章 行列式 2 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行 列 展开 克莱姆法则 行列式的一个简单应用 数学实验 第1 1节 n阶行列式的定义 3 本节从二 三阶行列式出发 给 出n阶行列式的概念 基本内容 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式 返 回 4 即 称其为二阶行列式 记号 它表示数 左上角到右下角表示主对角线 例 例 设 1 当 为何值时 2 当 为何值时 解 或 右

2、上角到左下角表示次对角线 例3 求二阶行列式 2 三阶行列式 7 记号 即 称为三阶行列式 它表示数 8 可以用对角线法则来记忆如下 9 主对角线法 例4 计算三阶行列式 10 解 由主对角线法 有 例5 例6满足什么条件时有 解 由题可得 即使 即时 给定的行列式为零 例7 的充分必要条件是什么 解 或 或 练习 计算下列行列式 解 1 排列及其逆序数 15 1 排列 由自然数1 2 n 组成的一个有序数组i1i2 in 称为一个n级排列 如 由1 2 3可组成的三级排列有3 6个 123 132 213 231 312 321 总数为 n 个 注意 上述排列中只有第一个为自然顺序 小 大

3、其 他则或多或少地破坏了自然顺序 元素大小与位置相 反 构成逆序 1 2 n阶行列式 2 排列的逆序数 16 定义 在一个n 级排列i1i2 in中 若某两数的前 后位置与大小顺序相反 即is it t s 则称这两数构 成一个逆序 排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为N i1i2 in 3 2例1 N 2413 N 312 2 排列的逆序数 17 定义 在一个n 级排列i1i2 in中 若某两数的前 后位置与大小顺序相反 即is it t s 则称这两数构 成一个逆序 排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为N i1i2 in n奇偶排列 若排列i1i2 in的逆序数为奇 偶 数 称它为奇

4、偶 排列 3 2例1 N 2413 N 312 逆序数的计算方法 即 例2 N n n 1 321 N 135 2n 1 2n 2n 2 42 0 1 2 n 1 n n 1 2 2 4 2n 2 n n 1 证明 19 对换 对换在一个排列i1 is it in中 若其中某 两数is和it互换位置 其余各数位置不变得到另一 排列i1 it is in 这种变换称为一个对换 记为 is it 例3 定理1 1 任一排列经过一个对换后奇偶性改变 20 对换在相邻两数间发生 即 设排列 jk 1 经j k对换变成 kj 2 此时 排列 1 2 中j k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化 而j与

5、k两数构成逆序的情形有变化 若 1 中jk构成逆序 则 2 中不构成逆序 逆序数减少1 若 1 中jk不构成逆序 则 2 中构成逆序 逆序数增加1 一般情形 设排列 ji1 isk 3 经j k对换变成 k i1 is j 4 易知 4 可由 3 经一系列相邻对换得到 k经s 1次相邻对换成为 kj i1 is j经s次相邻对换成为 ki1 is j 即经2s 1次相邻对换后 3 成为 4 相邻对换改变排列的奇偶 性 奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变 定理1 2 22 思考练习 排列的逆序数详解 方法1 在排列x1x2 xn中 任取两数xs和xt s t 则它们必在排列x1x2 xn或xnx

6、n 1 x1中构成逆序 且只能在其中的一个排列中构成逆序 又在排列 x1x2 xn中取两数的方法共有 依题意 有 故排列 x1x2 xn 与 xnxn 1 x1 中逆序之和为 此即 方法2 23 n个数中比i大的数有n i个 i 1 2 n 若在排列 x1x2 xn中对i构成的逆序为li个 则在xnxn 1 x1中对i构 成的逆序为 n i li 于是两排列中对i构成的逆序之和 为 li n i li n i i 1 2 n 此即 二 n阶行列式定义 24 分析 i 每一项均是由取自不同行 不同列的三个元素的 乘积构成 除符号外可写为 ii 符号为 123 231 312 偶排列 321 21

7、3 132 奇排列 iii 项数为 3 6 n推广之 有如下n 阶行列式定义 26 定义 是所有取自不同行 不同列n个元素的乘积 并冠以符号 的项的和 i 是取自不同行 不同列的n个元素的乘积 ii 行标按自然顺序排列 列标排列的奇偶性 决定每一项的符号 iii 表示对所有的 构成的n 个排列求和 例1 证明下三角行列式 27 证 由定义 和式中 只有当 所以 下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 例2 计算 29 解 由行列式定义 和式中仅当 注 例3用行列式的定义来计算行列式 解 设 练习 例4 应为何值 符号是什么 此时该项的 解 此时或 1 若则 取负号 2 若则 取正号 若是

8、五阶行列式 的一项 则 例5用行列式定义计算 解 由于数的乘法满足交换律 故而行列式各项中 n 个元素的顺序可以任意交换 一般 可以证明 34 定理1 3 n阶行列式D Det aij 的项可以写为 其中i1i2 in和j1 j2 jn都是n级排列 或 另一定义形式 另一定义形式 n推论 n阶行列式D Det aij 的值为 4 转置行列式 35 n定义 如果将行列式D的行换为同序数的列 得 到的新行列式称为D的转置行列式 记为DT 即若 36 用定义计算 思考练习 n阶行列式定义 答 案 1 3 行列式的性质 37 对多 0 的或是阶数较低 二 三阶 的行 列式利用定义计算较为容易 但对一般

9、的 高阶的 n 4 行列式而言 直接利用定 义计算很困难或几乎是不可能的 因而需 要讨论行列式的性质 用以简化计算 返回 性质1 行列式与它的转置行列式相等 D DT 38 证 事实上 若记 DT Det bij 则 解 例1 计算行列式 性质2 互换行列式的两行 ri rj 或列 ci cj 行列 式的值变号 39 推论 若行列式D的两行 列 完全相同 则D 0 性质3 推论 1 D中行列式某一行 列 的所有元素的因 子可以提到行列式符号的外面 2 D的两行 列 对应元素成比例 则D 0 性质4 若行列式 某一行 列 的所有元素都是两个数 的和 则此行列式等于两个行列式的和 这两个行列 式的

10、这一行 列 的元素分别为对应的两个加数之一 其余各行 列 的元素与原行列式相同 即 40 证 性质5 行列式D的某一行 列 的所有元素都乘以数 k 加到另一行 列 的相应元素上 行列式的值不变 即 41 例2 计算行列式 43 解 解 44 解 45 即 阜阳师范学院数学与 计算科学学院 阜阳师范学院数学与 计算科学学院 例6 计算n阶行列式 52 解 2 解 3 解 1 解 1 53 注意到行列式各行 列 元素之和等于x n 1 a 有 返 回 解 2 54 注意到行列式各行元素之和等于有 返 回 55 解 3 返 回 箭形行列式 阜阳师范学院数学与计算科学学院 阜阳师范学院数学与 计算科学

11、学院 阜阳师范学院数学与 计算科学学院 阜阳师范学院数学与计算科学学院 阜阳师范学院数学与计算科学学院 例9 证明 61 证 证 62 63 2 证明 1 计算行列式 思考练习 行列式的性质 64 思考练习 行列式性质答案 65 右边 思考练习 行列式性质答案 第1 3 节 行列式按行 列 展开 66 1 行列式按一行 列 展开 余子式与代数余子式在n阶行列式 中 划去元素aij所在的第i行和第j列 余下的元素按 原来的顺序构成的n 1阶行列式 称为元素aij的余子式 记作Mij 而Aij 1 i jMij称为元素aij的代数余子式 返 回 返回 例1 求出行列式 67 解 引例 阜阳师范学院

12、数学与 计算科学学院 定理1 4 行列式按一行 列 展开定理 70 n阶行列式 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余 子式的乘积之和 即 证 71 i D的第一行只有元素a11 0 其余元素均为零 即 而 A11 1 1 1M11 M11 故D a11A11 72 ii 当D的第i行只有元素aij 0时 即 将D中第i行依次与前i 1行对调 调换i 1次后位于第1行 D中第j列依次与前j 1列对调 调换j 1次后位于第1列 经 i 1 j 1 i j 2次对调后 aij 位于第1行 第1列 即 iii 一般地 由 i 73 由 ii 定理1 5 n阶行列式 74 的任意一行 列 的各

13、元素与另一行 列 对应的 代数余子式的乘积之和为零 即 证 75 考虑辅助行列式 0 t列j列 例2 计算行列式 76 解法1 法2 选取 0 多 的行或列 阜阳师范学院数学与 计算科学学院 注 例4 讨论当 为何值时 79 解 所以当论 例5 求证 80 证明 首先从第1行起 每行减去下一行 然 后按第1列展开 之后又从第1行起每行减去 下一行 化为下三角行列式即得结果 即 81 82 例6 已知4阶行列式 83 解法1 法2 利用行列式的按列展开定理 简化计算 84 例7 证明范得蒙行列式 Vandermonde 85 证 用数学归纳法 假设对n 1阶范德蒙行列式结论成立 以下考虑 n 阶

14、情形 86 87 例8 计算行列式 88 解1 计算时 性质与按行 列 展开定理结合使用 89 解2 利用范德蒙行列式的结论 例9 计算n阶行列式 90 解 91 解 思考练习 按行展开定理 92 计算行列式 思考练习 按行展开定理详解1 93 思考练习 按行展开定理详解2 94 2 拉普拉斯 Laplace 定理 95 k阶子式 在n阶行列式中 任意选定k行 k列 1 k n 位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺 序构成的一个k阶行列式N 称为行列式D的一个k 阶子式 k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行 k列后 余下的元素按原来顺序构成的一个n k阶 行列式M 称为k阶子式N的

15、余子式 而 为其代数余子式 这里i1 i2 ik j1 j2 jk分别为 k阶子 式N的行标和列标 96 在n阶行列式 拉普拉斯 Laplace 定理 任意取定k行 1 k n 由这k行元素组成的k阶子式N1 N2 V t 与它们的代数余子式 的乘积之和 等于D 即 97 例7 计算行列式 解 98 一般地 第1 5节 克莱姆法则 下面以行列式为工具 研究含有n个方程 n个未 知量的n元线性方程组的问题 先以二元线性方程组为例 当系数行列式D 0时 方程组有唯一解 二元线性方程组 称为方程组的系数行列式 101 定理1 7 克莱姆法则 如果n元线性方程组 则方程组有唯一解的系数行列式 返 回

16、返回 102 其中Dj j 1 2 n 是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1 b2 bn所构成的n级行列式 即 定理的结论有两层含义 方程组 1 有解 解惟一且可由式 2 给出 证 首先证明方程组 1 有解 事实上 将 103 代入第i个方程的左端 再将Dj按第j列展开 得 即式 2 给出的是方程组 1 的解 104 下面证明解惟一 设xj cj j 1 2 n 为方程组 1 的任意一个解 则 以D的第j列元素的代数余子式 A1j A2j Anj依次乘 以上式各等式 相加得 从而 Dcj Dj 由于D 0 因此 即方程组的解是惟一的 例 解线性方程组 2100 0 1680 所以方程组有唯一解 阜阳师范学院数学与 计算科学学院 120 420 720 D 2100 0D1 1680 D 2100 D1 1680 D2 420 D3 720 D4 120 方程组的唯一解为 例2 解线性方程组 108 解 系数行列式 109 的系数行列式D 0 则方程组只有零解 而若方程组 有非零解 则D 0 推论 齐次线性方程组 3 有非零解的充分必要 条件是系数行列式D 0 定理1