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1、第 1 页 共 18 页 高考数学二诊试卷 理科 高考数学二诊试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知复数 z 满足 z 1 i 2 2 i i 为虚数单位 则 z 为 A 2B C D 1 2 设全集 U R 集合 M x y lg x2 1 N x 0 x 2 则 N UM A x 2 x 1 B x 0 x 1 C x 1 x 1 D x x 1 3 在 n的二项展开式中 若第四项的系数为 7 则 n A 9B 8C 7D 6 4 在 ABC 中 A 60 AB 2 且 ABC 的面积为 则 BC 的长为 A B C 2D 2 5
2、在区间内随机取两个数分别记为 则使得函数 有零点的概率为 A B C D 6 如果执行如图所示的程序框图 输出的 S 110 则判断框内应填入的条件是 A k 10 B k 11 C k 10 D k 11 7 已知函数 f x x 1 将 f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到 原来的 纵坐标保持不变 再把所得图象向上平移 1 个单位长度 得到函数 y g x 的图象 若 g x1 g x2 9 则 x1 x2 的值可能为 A B C D 8 ABC 外接圆的半径为 1 圆心为 O 且 2 则 等于 第 2 页 共 18 页 A B C 3D 9 给出下列说法 x 是 tanx 1 的充分不
3、必要条件 命题 x0 R x0 2 的否定形式是 x R x 2 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两名学生不能分到同一个班 则不同分法的种数为 30 种 其中正确说法的个数为 A 0B 1C 2D 3 10 某多面体的三视图如图所示 则该几何体的体积与其 外接球的体积之比为 A B C D 11 设双曲线 C 1 a 0 b 0 的左右焦点分别为 F1 F2 以 F1F2为直径的圆 与双曲线左支的一个交点为 P 若以 OF1 O 为坐标原点 为直径的圆与 PF2相切 则双曲线 C 的离心率为 A B C D 12 已知函数 f x 若函数 g x f
4、f x 2 恰有 5 个零点 且最 小的零点小于 4 则 a 的取值范围是 A 1 B 0 C 0 1 D 1 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 x y 10 11 9 已知这组 数据的平均数为 10 方差为 2 则 x y 的值为 14 已知实数 x y 满足 若 x y 的最大值为 6 则实数 m 15 已知 A B 两点都在以 PC 为直径的球 O 的表面上 AB BC AB 2 BC 4 若球 O 的体积为 8 则异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为 16 已知抛物线 y2 8x 的焦点为 F 直线 l 过
5、 F 且依次交抛物线及圆 x 2 2 y2 1 于点 A B C D 四点 则 AB 4 CD 的最小值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 84 0 分 第 3 页 共 18 页 17 在数列 an 中 a1 1 an 1 设 bn n N 求证数列 bn 是等差数列 并求通项公式 bn 设 cn bn 2n 1 且数列 cn 的前 n 项和 Sn 若 R 求使 Sn 1 cn恒成立的 的取值范围 18 某面包店推出一款新面包 每个面包的成本价为 4 元 售价为 10 元 该款面包当 天只出一炉 一炉至少 15 个 至多 30 个 当天如果没有售完 剩余的面包以每 个 2 元的价格处理掉
6、为了确定这一炉面包的个数 该店记录了这款新面包最近 30 天的日需求量 单位 个 整理得下表 日需求量1518212427 频数108732 1 根据表中数据可知 频数 y 与日需求量 x 单位 个 线性相关 求 y 关于 x 的线性回归方程 2 以 30 天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率 若该店这款新面包 出炉的个数为 24 记当日这款新面包获得的总利润为 X 单位 元 若日需求量为 15 个 求 X 求 X 的分布列及其数学期望 相关公式 19 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 ACC1A1 底面 ABC AA1 A1C AC AB BC AB BC E F 分别为
7、 AC B1C1的中点 1 求证 直线 EF 平面 ABB1A1 2 求二面角 A1 BC B1的余弦值 第 4 页 共 18 页 20 如图 已知椭圆 C 的左焦点为 F 点 P 为椭圆 C 上任意 一点 且的最小值为 离心率为 直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A B 都在 x 轴上方 且 求椭圆 C 的方程 当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时 求直线 l 的方程 对于动直线 l 是否存在一个定点 无论如何变化 直线 l 总经过此定点 若存在 求出该定点的坐标 若不存在 请说明理由 21 已知函数 f x 2xlnx 2x g x a x 1 a 为常数 且 1 若当 x 1 时 函
8、数 f x 与 g x 的图象有且只要一个交点 试确 定自然数 n 的值 使得 a n n 1 参考数值 ln2 0 69 ln3 1 10 ln7 1 95 2 当 x 3 时 证明 f x 其中 e 为自然对数的底数 22 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程是 t 为参数 曲线 C 的参数 方程是 为参数 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系 求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程 已知射线 OP 1 其中 0 与曲线 C 交于 O P 两点 射线 OQ 第 5 页 共 18 页 2 与直线 l 交于 Q 点 若 OPQ 的面积为 1 求 的值和弦长 OP 23
9、已知 a 0 b 0 c 0 设函数 f x x b x c a x R 若 a b c 1 求不等式 f x 5 的解集 若函数 f x 的最小值为 1 证明 18 a b c 第 6 页 共 18 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 分析 本题考查复数代数形式的乘法运算 考查复数模的求法 是基础题 把已知等式变形 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数模的公式计算 解答 解 由 z 1 i 2 2 i 得 故选 C 2 答案 B 解析 解 全集 U R 集合 M x y lg x2 1 x x 1 或 x 1 CUM x 1 x 1 集合 N x 0 x 2 N UM x 0
10、x 1 故选 B 由全集 U R 集合 M x y lg x2 1 x x 1 或 x 1 先求出 CUM 再由集合 N 能 够求出 N UM 本题考查集合的交 并 补集的混合运算 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 3 答案 B 解析 分析 本题考查二项式定理的应用 二项展开式的特定项与特定项的系数 考查运算求解能力 属于中档题 先写出其通项 再令 r 3 根据第四项的系数为 7 即可求出 n 的值 解答 解 的二项展开式的通项为 第四项的系数为 7 r 3 Cn3 2 1 3 7 解得 n 8 故选 B 4 答案 B 解析 解 在 ABC 中 A 60 AB 2 且 ABC 的面积为 A
11、B AC sinA 即 2 AC 解得 AC 1 由余弦定理得 BC2 AC2 AB2 2AC AB cosA 1 4 2 3 第 7 页 共 18 页 则 BC 故选 B 利用三角形面积公式列出关系式 把 AB sinA 已知面积代入求出 AC 的长 再利用余 弦定理即可求出 BC 的长 此题考查了余弦定理 三角形面积公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握余弦定理 是解本题的关键 5 答案 B 解析 解 由题意知本题是一个几何概型 a b 使得函数 f x x2 2ax b2 有零点 0 a2 b2 试验发生时包含的所有事件是 a b a b S 2 2 4 2 而满足条件的事件是 a b
12、a2 b2 s 4 2 2 3 2 由几何概型公式得到 P 故选 B 先判断概率的类型 由题意知本题是一个几何概型 由 a b 使得函数 f x x2 2ax b2 有零点 得到关于 a b 的关系式 写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件 做出对应的面积 求比值得到结果 高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题 先要判断该概率模型是不是古典 概型 再找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 再看是不是 几何概型 它的结果要通过长度 面积或体积之比来得到 6 答案 C 解析 解 由程序可知 该程序是计算 由 S k k 1 110 得 k 10 则当 k 10
13、时 k k 1 10 1 11 不满足条件 所以条件为 k 10 故选 C 阅读程序框图 可知程序执行的是求从 2 开始的前 k 个偶数的和 利用等差数列求和公 式求出前 k 个偶数的和 由和等于 110 算出 k 的值 则判断框中的条件可求 本题考查了程序框图 是循环结构中的当型循环 即先判断后执行 满足条件执行循环 不满足条件跳出循环 算法结束 是基础题 7 答案 B 解析 解 函数 f x x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 将 f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 倍 得 y 2sin 4x 的图象 再把所得图象向上平移 1 个单位 得函数 y g x 2sin 4
14、x 1 的图象 若 g x1 g x2 9 则 4x 2k k Z 解得 x k Z 第 8 页 共 18 页 其中 x1 x2是三角函数 g x 最高点的横坐标 x1 x2 的值为 T 的整数倍 且 T 故选 B 化函数 f x 为正弦型函数 根据三角函数图象变换写出函数 y g x 的解析式 利用 g x1 g x2 9 求得 x1 x2满足的条件 再求 x1 x2 的可能取值 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题 也考查了图象平移与变换问题 是基础 题 8 答案 C 解析 解 O B C 共线 BC 为圆的直径 如图 AB AC 1 BC 2 AC 故 ACB 则 故选 C 利用向量
15、的运算法则将已知等式化简得到 得到 BC 为直径 故 ABC 为直角 三角形 求出三边长可得 ACB 的值 利用两个向量的数量积的定义求出的值 本题主要考查向量在几何中的应用 向量的数量积 向量垂直的充要条件等基本知识 求出 ABC 为直角三角形及三边长 是解题的关键 9 答案 C 解析 分析 由充分必要条件的定义和正切函数值 可判断 由特称命题的否定 为全称命题 可判断 先考虑将四人分为三组 2 1 1 再安排到三个班 去除甲乙在同一个班 即可判断 本题考查命题的真假判断 主要是充分必要条件的判断和命题的否定 以及分组的方法 和排列组合应用题的解法 考查运算能力 属于基础题 解答 x 可得
16、tanx 1 反之由 tanx 1 可得 x k k Z x 是 tanx 1 的充分不必要条件 故 正确 命题 x0 R x0 2 的否定形式是 x R x 2 故 错误 将甲乙丙丁四个人分为 2 1 1 可有 C 6 种分法 再安排到三个班有 6 6 36 种 方法 第 9 页 共 18 页 考虑甲乙分到同一个班 可得 6 种方法 即有甲乙不在同一个班的方法数为 30 故 正确 故选 C 10 答案 A 解析 分析 本题考查了棱锥的结构特征与三视图 几何体的体积计算 是中档题 由三视图知该几 何体是三棱锥 把它放入长方体中 计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积 求出 体积比 解答 解 由三视图知该几何体是三棱锥 A BCD 把它放入长方体中 如图所示 则三棱锥 A BCD 的体积为 VA BCD S BCD h 2 4 2 三棱锥外接球的直径为 2R AC 所以 4R2 AC2 22 22 42 24 解得 R 所以外接球的体积为 V球 R3 8 所以该几何体的体积与外接球的体积比为 故选 A 11 答案 D 解析 解 设 F1N ON MN r 则 OF2 2r 根据勾股定理
