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1、第 1 页 共 16 页 高考数学热身试卷 高考数学热身试卷 5 月份 月份 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 10 小题 共 30 0 分 1 设集合 A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 则 A B B C A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 3 2 已知等差数列 an 的公差为 2 若前 17 项和为 S17 34 a12的值为 A 8B 6C 4D 2 3 函数 f x x x a b 是奇函数的充要条件是 A ab 0B a b 0C a2 b2 0D a b 4 若复数 a R i 为虚数单位 是纯虚数 则实数 a 的值为 A 8B 6C 3D
2、 7 5 设 a b c 是互不相等的正数 则下列不等式中一定不成立的是 A a b a c b c B C D 6 双曲线 1 a b 0 上存在一点 P 与坐标原点 O 右焦点 F2构成正三角形 则双曲线的离心率为 A B C 1D 2 7 设 且满足 sin cos sin cos 1 则 sin sin 的取值范围是 A B 1 C 0 D 1 8 一个几何体的三视图及尺寸如图所示 则该几何体的外接球半径为 A B C D 第 2 页 共 16 页 9 平面向量 满足 则的最大值为 A 2B C D 10 已知不等式 对 x 1 恒成立 则实数 a 的最小值为 A B C eD 2e
3、二 填空题 本大题共 7 小题 共 21 0 分 11 成书于公元一世纪的我国经典数学著作 九章算术 中有这样一道名题 就是 引 葭赴岸 问题 题目是 今有池方一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 适 马岸齐 问水深 葭长各几何 题意是 有一正方形池塘 边长为一丈 10 尺 有棵芦苇长在它的正中央 高出水面部分有 1 尺长 把芦苇拉向岸边 恰好碰到 沿岸 池塘一边的中点 则水深为 尺 芦苇长 尺 12 的展开式中常数项为 二项式系数最大的项的系数为 13 已知圆 C x a 2 y b 2 1 设平面区域 若圆心 C 且 圆 C 与 x 轴相切 则 a 2b 的最小值为 a2 b2的最大值为
4、14 ABC 中 A 2B BC 1 则 AC 的取值范围是 的取值范围是 15 过抛物线 C y2 2px p 0 的焦点 F 的直线与抛物线 C 交于 A B 两点 AF 2 BF 2 则 p 16 有 5 个匣子 每个匣子有一把钥匙 并且钥匙不能通用 如果在每一个匣子内各放 入一把钥匙 然后把匣子全部锁上 要求砸开一个匣子后 能继续用钥匙打开其余 4 个匣子 那么钥匙的放法有 种 17 数列 an 满足 a1 1 an 1 an2 can 1 若 an 单调递减 则实数 c 的取值范围是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 74 0 分 18 已知函数 1 求 f x 的最大值及此时 x
5、 的值 2 求 f 1 f 2 f 2019 的值 19 甲 乙 丙三名乒乓球手进行单打对抗比赛 每两人比赛一场 共赛三场 每场比 赛胜者得 3 分 负者得 0 分 在每一场比赛中 甲胜乙的概率为 丙胜甲的概率 为 乙胜丙的概率为 p 且各场比赛结果互不影响 若甲获第一名且乙获第三名的 第 3 页 共 16 页 概率为 1 求 p 的值 2 设在该次对抗比赛中 丙得分为 X 求 X 的分布列 数学期望和方差 20 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 DAB 60 PC 平面 ABCD 且 AB 2 PC F 是 PA 的中点 求证 CF 平面 PDB 求平面 ADP 与平面 B
6、CP 所成锐二面角的余弦 值 21 已知 椭圆 的离心率为 且 a b 3 过左焦点 F 作一条直线 交椭圆于 A B 两点 过线段 AB 的中点 M 作 AB 的垂线交 y 轴于点 P 1 求椭圆方程 2 当 PAB 面积最大时 求直线 AB 的斜率 第 4 页 共 16 页 22 已知函数 f x 1 如果当 x 1 时 不等式 f x 恒成立 求实数 a 的取值范围 2 求证 n 2 n N 第 5 页 共 16 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 A B 1 2 3 4 B C 2 3 4 5 A B B C 2 3 4 故选 B 先根据两个集合的并集的定义求得 A B
7、B C 再根据两个集合的交集的定义求得 A B B C 本题主要考查两个集合的交集 并集的定义和求法 属基础题 2 答案 A 解析 解 等差数列 an 的前 17 项和为 S17 34 34 a1 a17 4 a1 a17 2a9 a9 2 等差数列 an 的前 17 项和为 S17 34 a12 a9 12 9 2 a12 8 故选 A 由等差数列 an 的前 17 项和为 S17 34 可得 34 再结合 a9为 a1 a17的等差中项 可求出 a9 再根据 a9和 a12的关系即可得解 本题主要考查了利用 n 项和公式求数列中的项 求解本题的关键是根据等差数列 an 的 前 17 项和为
8、 S17 34 得出 a9 2 然后再利用 a9和 a12的关系即可求解 3 答案 C 解析 解 由奇函数的性质可得 f 0 b 0 f x x x a 则 f x f x 0 x x a x x a 0 x 0 时 x a x a 恒成立 则 a 0 函数 f x x x a b 是奇函数的充要条件是 a b 0 即 a2 b2 0 故选 C 由奇函数的性质可得 f 0 b 0 于是 f x x x a 由 f x f x 0 x 0 时 x a x a 恒成立 解得 a 0 本题考查了函数的奇偶性 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 4 答案 B 解析 解 第 6 页 共 16 页 复数
9、 a R i 为虚数单位 是纯虚数 解得 a 6 故选 B 利用复数的运算法则把的分子分母都乘以分母的共轭复数 等价转化为 再由复数的乘除运算得到 然后利用纯虚数的概念知 由此能求出 实数 a 的值 本题考查复数的代数形式的乘除运算 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 熟练 掌握纯虚数的性质和运用 5 答案 B 解析 解 a 为正数 a 2 a2 a2 故 a2 一定不成立 故选 B 本题要找出不等式中一定不成立的选项 需要根据选项找出成立的条件说明一定不成立 的原因 本题考查的是不等关系 通过基本不等式法 作差法 特殊值法比较两式大小 研究不 等式是否成立 得出本题结论 属中档题 6 答案
10、 C 解析 解 P 与坐标原点 O 右焦点 F2构成 正三角形 连接 PF1 则三角形 F1PF2为直角三角形 则 PF2 c PF1 c PF1 PF2 2a 1 c 2a 则 e 故选 C 根据正三角形的性质得到三角形 F1PF2为直角三 角形 利用双曲线离心率的定义进行求解即可 本题主要考查双曲线离心率的计算 根据直角三角形的性质建立方程关系是解决本题的 关键 第 7 页 共 16 页 7 答案 D 解析 解 sin cos sin cos sin 1 判断出 0 sin sin sin cos sin cos sin 0 sin 1 sin 1 故选 D 先利用正弦的两角和公式化简已知
11、等式求得 把 sin 转换为 cos 利用两角和公 式化简 根据 的范围求得 sin sin 的范围 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用 求出 和 互余是解题的关键 8 答案 C 解析 解 由三视图可知 该几何体是一个如图所示的三棱 锥 图中红色部分 它是一个正四棱锥的一半 其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形 高 EF 4 设其外接球的球心为 O O 点必在高线 EF 上 外接球半径为 R 则在直角三角形 AOF 中 AO2 OF2 AF2 EF EO 2 AF2 即 R2 4 R 2 2 2 解得 R 故选 C 由三视图可知 该几何体是一个如图所示的三棱锥 图中红色部分 它是
12、一个正四棱 锥的一半 其中底面是一个两直角边都为 6 的直角三角形 高为 4 设其外接球的球心 O 必在高线 EF 上 利用外接球的半径建立方程 据此方程可求出答案 本题考查由三视图还原实物图 考查多面体的外接球的运算 考查空间想象力 这是一 个综合题目 9 答案 C 解析 解 对 两边平方 即 第 8 页 共 16 页 将 可知 所以 故选 C 对各式进行平方 利用不等式的性质进行求解 本题考查数量积的运算和不等式的基本性质 属于中档题目 10 答案 C 解析 解 不等式对 x 1 恒成立 即 xa lnxa对 x 1 恒成立 即 e x lne x xa lnxa 对 x 1 恒成立 设函
13、数 f x x lnx 则 所以 f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 即 f e x f xa 对 x 1 恒成立 x 1 时 根据选项 只需讨论 a 0 的情况 当 a 0 时 y xa 在 x 1 上单调递减 则 xa 0 1 则 e x xa 两边取 e 为底的对数 得 x alnx x 1 即 x 1 设函数 则 所以 h x 在 1 e 上单调递增 在 e 上单调递减 则 h x 最小值 h e e 即 a e 故选 C 将原不等式化为 e x lne x xa lnxa 对 x 1 恒成立 设函数 f x x lnx 即 f e x f xa 对 x 1 恒成立 讨
14、论函数 f x 的单调性 本题考查不等式恒成立求参数问题 利用导数讨论函数的单调性 构造函数的构造思想 对数的等价变形等 属于难题 11 答案 12 13 解析 解 依题意画出图形 设芦苇长 AB AB x 尺 则水深 AC x 1 尺 B E 10 尺 B C 5 尺 在 Rt AB C 中 52 x 1 2 x2 解得 x 13 尺 水深为 12 尺 芦苇长为 13 尺 故答案为 12 13 把问题转化为如图的数学几何图形 根据题意 可知 EB 的 长为 10 尺 则 B C 5 尺 设出 AB AB x 尺 表示出水深 第 9 页 共 16 页 AC 根据勾股定理建立方程 求出方程的解即
15、可得到芦苇的长和水深 本题考查水深和芦苇长的求法 考查勾股定理 一元二次方程的性质等基础知识 考查 运算求解能力 是中档题 12 答案 解析 分析 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 二项式系数的性质 属于基 础题 由题意利用二项展开式的通项公式 求得展开式中常数项以及二项式系数最大的项的系 数 解答 解 二项式的展开式的通项公式为 Tr 1 x6 3r 令 6 3r 0 解得 r 2 故展开式中常数项为 二项式系数最大的项为第四项 r 3 系数为 故答案为 13 答案 0 37 解析 分析 本题主要考查线性规划的应用 利用 数形结合是解决线性规划题目的常用 方法 作出不等式组
16、对应的平面区域 利用圆 C 与 x 轴相切 得到 b 1 为定值 此时 利用数形结合确定 a 的取值即可得到 结论 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如 图 圆心为 a b 半径为 1 圆心 C 且圆 C 与 x 轴相切 b 1 a 2b a 2 由解得 A 2 1 a 2b 的最小值为 0 则 a2 b2 a2 1 要使 a2 b2的取得最大值 则只需 a 最大即可 由图象可知当圆心 C 位于 B 点时 a 取值最大 由 解得 B 6 1 当 a 6 b 1 时 a2 b2 36 1 37 即最大值为 37 故答案为 0 37 第 10 页 共 16 页 14 答案 0 3 解析 解 因为 A 2B 所以 A B 3B 所以 0 3B 所以 根据正弦定理 BC 1 所以 所以 所以 所以 即 故 AC 的取值范围是 又由正弦定理 BC 1 又 sinC sin 3B 3sinB 4sin3B 得 AB 所以 cosB 3 4sin2B 又 所以 0 sinB 所以 0 sin2B 所以 0 3 故答案为 0 3 先用正弦定理求出 根据 B 的限制条件和三角函数的值域进行求解即可得解
