概率论1_4章课后习题讲解

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1、上一页下一页 1 概率论与数理统计习题解答课件上一页下一页 2 第一章随机事件及概率上一页下一页 3 P23习题1 1 有数字0 1 2 3 4 5能组成多少个没有重复数字的五位数这6个数字选出5个来排列的方法有解由题意可知种而首位为0的有种故首位不能为0的为上一页下一页 4 P23习题1 2 从含3件次品 7件正品的产品中任取 5 件其中有4件正品与1件次品试问有多少种取法解由题意可知任取5件其中有4件正品与1件次品的取法为上一页下一页 5 P23习题1 3 试证证明由概率的加法公式得任意的两个事件A B有故上一页下一页 6 P2

2、3习题1 4 从含45件正品 5件次品的产品中任取 3件产品试求其中恰有一件次品的概率解由题意可知 A表示任取3件中有一件为次品事件 50件中任取3件的取法为而有一件为次品的取法为故上一页下一页 7 P23习题1 5 一袋中装有6只白球 4只红球 2只黑球求解 1 任取4个球都是白球的取法为 1 从中任取4个球都是白球的概率 4个球的取法有 2 从中任取6个球恰好3白 2红 1黑的概率而任取故任取4个球都是白球的概率 2 从中任取6个球恰好3白 2红 1黑的概率上一页下一页 8 P23习题1 6 将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中求解 1 每个盒子

3、都放有的方法有 1 没有一个空盒子的概率法有 2 至少有一个空盒子的概率而总共的方故没有一个空盒子的概率 P A 2 至少有一个空盒子的概率为 P B 1 P A 上一页下一页 9 P23习题1 7 在区间 0 1 中随机地抽取两个数求事件两数之和小于6 5 的概率解用x y分别表示从 0 1 中取出的2个数则样本空间为正形如图所示 K为区域 K 所以由几何概型得 x y 6 5 上一页下一页 10 P23习题1 8 设一质点落在解如右图所示由题意可知所求的概率为轴轴及直线所围成的三角形区域内各点是等可能的求这点在直线左边的概率 A B S x y

4、o 上一页下一页 11 解设A 第一次取得红球 B 第二次取得红球 P23习题1 9 袋中有10个球其中8个红球 2个白球现从中任取两次每次一球作不放回抽样求下列事件的概率 1 两次都取红球 2 两次中一次取得红球另一次取得白球 3 至少一次取得白球 4 第二次取得白球上一页下一页 12 解 1 P AB P A P B A 上一页下一页 13 解设A 甲译出密码 B 乙译出密码 P A 1 5 P B 1 3 P C 1 4 则A B C相互独立且 C 丙译出密码则此密码被译出的概率为 P23习题1 10 甲乙丙三人独立地翻译一个密码他们译出的概率分别是1

5、 5 1 3 1 4 试求此密码被译出的概率上一页下一页 14 P23习题1 11 玻璃杯成箱出售每箱20只假设各箱含0 1 2只残次品的概率相应为0 8 0 1和0 1 一顾客欲购买一箱玻璃杯在购买时时售货员随意取一箱而顾客随机地查看4只若无残次品则购买下该箱玻璃杯否则退回求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率上一页下一页 15 解 1 设Ai 一箱玻璃杯中含有i个残次品 i 0 1 2 B 从一箱玻璃杯中任取4只无残次品由题设可知 P A0 0 8 P A1 0 1 P A2 0 1 根据全概率公式得上一页下一页 1

6、6 P23习题1 12 设8支枪中有3支未经试射校正 5支已经试射校正一射手用校正的枪射击时中靶概率为0 8 而用未校正过的枪射击时中靶概率为0 3 现假定从8支枪中任取一支进行射击结果中靶求所用的枪是已校正过的概率上一页下一页 17 解设A 经过校正的枪 C 射击中靶由题设可知 P A 5 8 P B 3 8 P C A 0 8 P C B 0 3 根据全概率公式得 B 未经校正的枪上一页下一页 18 P23习题1 13 对飞机进行3次独立射击第1次射击的命中率为0 4 第2次为0 5 第3次为0 7 飞机被击中1次而坠落的概率为0 2 被击中2次而坠落的

7、概率为0 6 若被击中3次飞机必坠落求射击3次使飞机坠落的概率设B 飞机坠落 Ai 飞机被击中i次 i 1 2 3 由全概率公式则 B A1B A2B A3B 解依题意 P B A1 0 2 P B A2 0 6 P B A3 1 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 上一页下一页 19 可求得为求P Ai 将数据代入计算得设 Hi 飞机被第i次射击击中 i 1 2 3 P A1 0 36 P A2 0 41 P A3 0 14 上一页下一页 20 于是 0 458 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 即飞机坠落的概率为

8、0 458 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 上一页下一页 21 P24习题1 14 某人每次射击的命中率为0 6 独立射击5次求 1 击中3次的概率 2 至少有1次未击中的概率解 1 2 考虑至少有1次未击中的对立事件即每次都击中其概率为故至少有1次未击中的概率为上一页下一页 22 P24习题1 15 某车间有12台车床由于工艺上的原因时常发生故障设每台车床在任一时刻出故障的概率为0 3 且各台车床的工作是相互独立的计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率解设A 任一指定时刻有3台以上车床发生故障又因为

9、则A 在任一指定时刻有少于3台车床发生故障上一页下一页 23 有0台车床发生故障的概率为有1台车床发生故障的概率为有2台车床发生故障的概率为故有3台车床发生故障的概率为上一页下一页 24 P24习题1 16 若1人负责维修同类型的设备20台设各台设备的工作是相互独立的在一天内发生故障的概率都是0 01 维修用不了多长时间求设备发生故障而不能得到及时处理的概率若3人共同负责维修80台呢上一页下一页 25 解 1 设A 设备发生故障而不能得到及时处理则A 在任一时刻至多有1台设备发生故障故上一页下一页 26 2 设A 设备发生故障而不能得到及时处理则A

10、在任一时刻至多有3台设备发生故障故上一页下一页 27 第二章随机变量及其分布上一页下一页 28 P43习题2 1 设在15只同类型的零件中有2只次品在其中取3次做不放回抽样以X表示取出次品的个数求X的分布率解设X表示取出次品的个数则 X的取值可能是0 1 2 p X 0 p X 1 上一页下一页 29 p X 2 所以X的分布律为 X012 P 上一页下一页 30 P43习题2 2 一实习生用一台机器接连独立地制造了3个不同的零件第i个零件是不合格的概率为Pi 1 i 1 i 1 2 3 以X表示3个零件中合格品的个数求X的分布律解设Ai为第i

11、个零件为不合格品事件显然A1 A2 A3为相互独立事件由题设可知 X的取值只能是0 1 2 3 P A1 1 2 P A2 1 3 P A3 1 4 上一页下一页 31 P X 0 1 24 P X 1 6 24 P X 2 11 24 P X 3 1 4 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 24 6 2411 24 1 4 上一页下一页 32 P43习题2 3 一汽车沿一街道行驶需要通过三个均设有红绿灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且红绿两种信号显示的概率为1 2 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数上一页下一页 33 解 X

12、的取值为0 1 2 3 P X 0 1 2 X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1 2 1 4 1 8 1 8 P X 1 1 2 1 2 1 4 P X 2 1 2 1 2 1 2 1 8 P X 3 1 2 1 2 1 2 1 8 上一页下一页 34 P43习题2 4 将一枚硬币连投n次 X表示n 次中出现正面的次数求X的分布律解 X B n 1 2 则X的分布律为 X 0 1 2 n 1 n P 上一页下一页 35 求X的分布函数 P43习题2 5 已知离散型随机变量X的分布率为上一页下一页 36 解由分布函数的定义则X的分布函数上一页下一页 37 1 求系数A

13、2 X的分布函数F x P43习题2 6 设随机变量X的密度为上一页下一页 38 所以 A 1 2 2 因为 1 因为上一页下一页 39 所以上一页下一页 40 求X的分布函数解当 X0 时上一页下一页 42 P44习题2 8 设连续型随机变量X的分布函数为求 1 A 2 P 0 3 X 0 7 3 X的概率密度f x 解 1 F x 在x 1点连续由连续性得所以 A 1 上一页下一页 43 0 x 0 2x 0 x3 则P A P X 3 2 3 设Y表示三次独立观测中A出现的次数则上一页下一页 54 故所求为 P Y 2 P Y 3 20 27 P Y 2

14、上一页下一页 55 P44习题2 13 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X 单位分服从参数为1 5的指数分布若等待的时间超过10分钟则他就离开设他一个月内要来银行5次以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数求Y的分布律及P Y 1 上一页下一页 56 解 1 因为所以上一页下一页 57 2 Y是表示10分钟内等不到的次数则上一页下一页 58 P44习题2 14 设随机变量X N 108 32 求 1 常数a 使P X a 0 90 2 P 101 1 x 11 76 解 1 由题设可知查表可知所以上一页下一页 59 2 因为又因为所以

15、上一页下一页 60 P44习题2 15 某产品的质量指标若要求若要求问许最大的多少解因为即上一页下一页 61 查表可知所以上一页下一页 62 P44习题2 16 测量到某一目标的距离发生的随机误差X m 具有概率密度求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m的概率上一页下一页 63 解误差的绝对值不超过30米的概率为所以误差超过30米的概率为 1 0 4931 0 5069 所以三次误差绝对值都超过30米的概率为上一页下一页 64 因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30的概率为上一页下一页 65 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间

16、的长度成正比 P44习题2 17 设随机变量X的绝对值不大于1 在事件 1 X 1 出现的条件下 X在 1 1 试求 2 X取负值的概率P 1 X的分布函数F x 上一页下一页 66 解由题设知设于是 1 当当当上式中令得推导较复杂先做准备工作上一页下一页 67 又于是当时上一页下一页 68 2 上一页下一页 69 P45习题2 18 设X B 3 0 4 求下列随机变量的分布律 1 Y1 X2 2 Y2 X2 2X 3 Y3 3X X2 2 解 X的概率分布为P X k 列表如下 X0123 X20149 X2 2X0 103 3X X2 20110 概率0 2160 4320 2880 064 上一页下一页 70 Y1 0 1 4 9 P0 216 0 432 0 288 0 064 Y2 1 0 3 P0 432 0 504 0 064 Y3 0 1 P0 28 0 72 则有Y1 Y2 Y3的分布律分别为上一页下一页 71 P45习题2 19 设随机变量X的概率密度函数为求随机变量Y 的概率密度函数解先求Y的分布函数FY y P Y

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