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1、 20102725984 王涛 不定方程 论不定方程王涛 20102725984摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 正文：初等数论 是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。初等数论已经有 2000 年的历史，
2、公元前 300 年，欧 几 里 得 发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前 250 年古希腊数学家埃 拉 托塞 尼 发明了一种筛法。2000 年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素 数 普 遍 公 式 ，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转古 希 腊 数 学 家 丢 番 图 于 三 世 纪 初 就 研 究 过 若 干这 类 方 程 ， 所 以 不 定 方 程 又 称 丢 番 图 方 程 ， 是 数 论的 重 要 分 支 学 科 ， 也 是 历 史 上 最 活 跃 的 数 学 领 域 之一 。 不 定 方 程 的
3、 内 容 十 分 丰 富 ， 与 代 数 数 论 、 几 何数 论 、 集 合 数 论 等 等 都 有 较 为 密 切 的 联 系 。 1969年 ， 莫 德 尔 较 系 统 地 总 结 了 这 方 面 的 研 究 成 果 。 了指 标 和 估 计 问 题 表 示 论 的 雏 形 。不 定 方 程 是 数 论 中 最 古 老 的 分 支 之 一 。 古 希 腊 的 丢 番 图 早 在 公 元 3 世 纪 就 开 始 研 究 不定 方 程 ， 因 此 常 称 不 定 方 程 为 丢 番 图 方 程 。 Diophantus， 古 代 希 腊 人 ， 被 誉 为 代 数 学 的 鼻 祖 ，流 传
4、下 来 关 于 他 的 生 平 事 迹 并 不 多 。 今 天 我 们 称 整系 数 的 不 定 方 程 为 Diophantus 方 程 ， 内 容 主要 是 探 讨 其 整 数 解 或 有 理 数 解 。 他 有 三 本 著 作 ， 其中 最 有 名 的 是 算 术 ， 当 中 包 含 了 189 个 问 题 及其 答 案 ， 而 许 多 都 是 不 定 方 程 组 (变 量 的 个 数 大 于方 程 的 个 数 )或 不 定 方 程 式 (两 个 变 数 以 上 )。 丢 番图 只 考 虑 正 有 理 数 解 ， 而 不 定 方 程 通 常 有 无 穷 多 解的 。 研 究 不 定 方
5、程 要 解 决 三 个 问 题 ： 判 断 何时 有 解 。 有 解 时 决 定 解 的 个 数 。 求 出 所 有 的 解 。中 国 是 研 究 不 定 方 程 最 早 的 国 家 ， 公 元 初 的 五 家 共井 问 题 就 是 一 个 不 定 方 程 组 问 题 ， 公 元 5 世 纪 的 张 丘 建 算 经 中 的 百 鸡 问 题 标 志 中 国 对 不 定 方 程 理论 有 了 系 统 研 究 。 秦 九 韶 的 大 衍 求 一 术 将 不 定 方 程与 同 余 理 论 联 系 起 来 。 百 鸡 问 题 说 ： “鸡 翁 一 ， 直钱 五 ， 鸡 母 一 ， 直 钱 三 ， 鸡 雏
6、 三 ， 直 钱 一 。 百 钱 买百 鸡 ， 问 鸡 翁 、 母 、 雏 各 几 何 ？ ”。 设 x， y， z 分别 表 鸡 翁 、 母 、 雏 的 个 数 ， 则 此 问 题 即 为 不 定 方 程组 的 非 负 整 数 解 x， y， z， 这 是 一 个 三 元 不 定 方 程组 问 题 。基础知识1不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。2解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法
7、：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。一 次 不 定 方 程二 元 一 次 不 定 方 程 的 一 般 形 式 为 ax+by=c。 其中 a， b， c 是 整 数 ， ab 0。 此 方 程 有 整 数 解 的 充分 必 要 条 件 是 a、 b 的 最 大 公 约 数 整 除 c。 若 a、 b互 质 ， 即 它 们 的 最 大 公 约 数 为 1， (x0， y0)是 所 给方 程 的 一 个 解 ， 则 此 方 程 的 解 可 表
8、为 (x=x0-bt， y=y0+at） |t 为 任 意 整 数 。 S（ 2） 元 一 次 不 定 方 程 的 一 般 形 式 为a1x1+a2x2+asxs=n0a1， ， as， n 为 整 数 ， 且a1as0。 此 方 程 有 整 数 解 的 充 分 必 要 条 件 是a1， ， as 的 最 大 公 约 数 整 除 n。 埃 拉 托 塞 尼 筛 法 产 生 的 素 数 普 遍 公 式 是 一 次 不定 方 程 公 元 前 300 年 ， 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 就发 现 了 数 论 的 本 质 是 素 数 ， 他 自 己 证 明 了 有 无 穷 多个 素 数 ，
9、公 元 前 250 年 古 希 腊 数 学 家 埃 拉 托 塞 尼 发明 了 一 种 筛 法 ： （ 一 ） “要 得 到 不 大 于 某 个 自 然 数 N 的 所 有 素 数 ，只 要 在 2-N 中 将 不 大 于 N 的 素 数 的 倍 数 全 部 划 去即 可 ”。 后 来 人 们 （ 二 ） 将 上 面 的 内 容 等 价 转 换 ： “如 果 N 是 合数 ， 则 它 有 一 个 因 子 d 满 足 1dN”。 （ 基 础 数论 13 页 ， U 杜 德 利 著 ， 上 海 科 技 出 版 社 ） 。 . （ 三 ） 再 将 （ 二 ） 的 内 容 等 价 转 换 ： “若 自
10、然数 N 不 能 被 不 大 于 (根 号 )N 的 任 何 素 数 整 除 ， 则N 是 一 个 素 数 ”。 见 （ 代 数 学 辞 典 上 海 教 育 出 版 社 1985 年 。 屉 部 贞 世 朗 编 。 259 页 ） 。 （ 四 ） 上 面 这 句 话 的 汉 字 可 以 等 价 转 换 成 为 用英 文 字 母 表 达 的 公 式 ： N=p1m1+a1=p2m2+a2=.=pkmk+ak 。 (1) 其 中 p1， p2， .， pk 表 示 顺 序 素 数2， 3， 5， ,。 a0。 即 N 不 能 是2m+0， 3m+0， 5m+0， .， pkm+0 形 。 若NP（
11、 k+1） 的 平 方 注 ： 后 面 的1， 2， 3， .， k， （ k+1） 是 脚 标 ， 由 于 打 印 不 出 来 ，凡 字 母 后 面 的 数 字 或 者 i 与 k 都 是 脚 标 ， 则 N 是一 个 素 数 。 （ 五 ） 可 以 把 （ 1） 等 价 转 换 成 为 用 同 余 式 组表 示 ： Na1(modp1)， Na2(modp2)，.， Nak(modpk)。 (2) 例 如 ， 29， 29 不 能 够 被 根 号 29 以 下 的 任 何 素数 2， 3， 5 整 除 ， 29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 291(mod2)， 292(mod3
12、)， 294(mod5)。 29 小 于7 的 平 方 49， 所 以 29 是 一 个 素 数 。 以 后 平 方 用 “*”表 示 ， 即 ： =m*。 由 于 （ 2） 的 模 p1， p2， .， pk 两 两 互 素 ，根 据 孙 子 定 理 (中 国 剩 余 定 理 ） 知 ， （ 2） 在p1p2.pk 范 围 内 有 唯 一 解 。 例 如 k=1 时 ， N=2m+1， 解 得 N=3， 5， 7。 求得 了 （ 3， 3*） 区 间 的 全 部 素 数 。 k=2 时 ， N=2m+1=3m+1， 解 得N=7， 13， 19； N=2m+1=3m+2， 解 得N=5， 1
13、1， 17， 23。 求 得 了 （ 5， 5*） 区 间 的 全 部素 数 。 k=3 时 , -| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| -|-|-|-|-| n=2m+1=3m+1= |-31-|-7, 37-|-13,43|-19-| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|-23-|-29-| - 求 得 了 （ 7， 7*） 区 间 的 全 部 素 数 。 仿 此 下 去可 以 求 得 任 意 大 的 数 以 内 的 全 部 素 数 。 二 次 不 定 方程二次不定方程二 元 二 次 不 定 方 程 本 质 上 可 以 归 结 为 求 二 次
14、 曲线 （ 即 圆 锥 曲 线 ） 的 有 理 点 或 整 点 问 题 。 一 类 特 殊 的 二 次 不 定 方 程 是 x2+y2=z2， 其正 整 数 解 称 商 高 数 或 勾 股 数 或 毕 达 哥 拉 斯 数 ， 中 国 周 髀 算 经 中 有 “勾 广 三 ， 股 修 四 ， 经 隅 五 ”之 说 ，已 经 知 道 （ 3， 4， 5） 是 一 个 解 。 刘 徽 在 注 九 章算 术 中 又 给 出 了 （ 5， 12， 13） ， （ 8， 15， 17） ， （ 7， 24， 25） ， （ 20， 21， 29） 几 组 勾 股 数 。 它 的全 部 正 整 数 解 已
15、在 16 世 纪 前 得 到 。 这 类 方 程 本 质上 就 是 求 椭 圆 上 的 有 理 点 。 另 一 类 特 殊 的 二 次 不 定 方 程 是 所 谓 佩 尔 方 程x2 Dy2=1， D 是 非 平 方 的 正 整 数 。 利 用 连 分 数 理论 知 此 方 程 永 远 有 解 。 这 类 方 程 就 是 求 双 曲 线 上 的有 理 点 。 最 后 一 类 就 是 平 方 剩 余 问 题 ， 即 求 x2-py=q的 整 数 解 ， 用 高 斯 的 同 余 理 论 来 描 述 ， 就 是 求x2q(mod p) 的 剩 余 类 解 。 高 斯 发 现 的 著 名 二 次互 反 律 给 出 了 次 方 程 是 否 有 解 的 判 定 方 法 。 这 类方 程 就 相 当 于 求 抛 物 线 上 的 整 点 。 圆 锥 曲 线 对 应 的 不 定 方 程 求 解 可 以 看 做 椭圆 曲 线 算 术 性 质 的 一 种
