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1、当代物理前沿专题之十对称与近代物理杨振宁101 早期阶段 .1102 十九世纪：群和晶体学 .3103 二十世纪：扩大了对称的作用 .4104 二十世纪：规范对称 .6105 二十一世纪：对称的新方面？ .8101 早期阶段对称的概念象人类文明一样古老它是如何诞生的，也许是一个永恒的秘密但是，生物世界（图10-1）和物理世界（图 10-2）中的令人惊奇的对称结构，必定给先民们留下了深刻的印象人体的左右对称也不会不激起先民们的创造天性很容易想象，越过这一早期阶段，对称的概念被抽象出来了，起初也许是下意识的，后来便以比较明确的形式抽象出来随着文明的发展，对称的应用逐渐扩展到人类活动的各个领域：绘画
2、、雕塑、音乐、建筑、文学等等图 103 展示的是称之为觚的青铜器皿，其年代在距今约 3 200 年的中国商代它的雅致的外形显示出艺术家对对称形式之美已有周密的理解图 10-4 展示的是宋代大诗人苏东坡（10361101）写的一首诗，它由八列竖行组成，每行七字，这是标准的中国诗的形式这首诗可以竖直向下读，从右边第一行开始，接着读第二行，依次类推然而，它还能够倒 着读，从最后一行（第八行）底部向上读，接着按同样的方式读第七行，如此等等用这两种方式读来诗都很美，都具有正确的音步和恰当的韵脚图 105 是巴赫（JSBach，16851750）的“Crab 轮唱曲” ，它是一支小提琴二重奏，其中每把小提
3、琴的乐谱是另一小提琴乐谱的时间反转的演奏我们很难判断，苏东坡的诗或巴赫的乐曲二者之中哪一个更难创作然而可以肯定的是，二者都起因于艺术家对于对称概念的感染力的深刻鉴赏研究是谁最早将对称的概念引入科学，也许要上溯到古希腊的数学家和哲学家众所周知，希腊人发现了五种正多面体，它们是高度对称的（图 10-6） 这使某些权威认为，欧几里得（Euclid，约公元前 330公元前 275）汇编几何原本实际上就是为了证明这五种正多面体是仅有的正多面体尽管这一理论可能正确，也可能不正确，但是我们的确知道，希腊人因这个发现，以致于把宇宙结构的基本元素与这五种对称的多面体联系起来以下我们将介绍开普勒（Kepler，1
4、5711630）在科学时代的初期是怎样把这些正多面体与行星的运行轨道联系起来的希腊人对对称概念是如此着 魔入迷，以致他们用“球之和谐”与“圆之基本性”的观念为主导思想按照这种观念，天体必须遵守最对称的法则，而圆和球是最对称的形式然而，天体并非作简单的圆运动于是，他们力图使天体的运动符合在圆运动上叠加的圆运动当这样的想法不能奏效时，他们又使叠加在圆运动上的圆运动再一次叠加在圆运动上， 如此等等“球之和谐”对天文学的进步的阻碍至少有 1500 年不过，这种观念的影响并不是完全消极的当开普勒开始天文学家的生涯时，他继承了希腊人对于对称形式的迷恋，并力求发展一种基于五种正多面体的行星轨道之直径比的理论
5、（图 107） 他已对哥白尼（Copernicus，14731543）的日心体系深信不疑当时已知有六颗行星：土星、木星、火星、地球、金星和水星开普勒设想后一个大球描绘土星；在大球中，他构造了一个内接正立方体，在 这个立方体内，且内切于立方体，他设置了另一个球描绘木星；在第二个球中，他构造了一个内接正四面体，在这个正四面体内，且内切于正四面体，他设置了下一个球描绘火星；依次类推五种正多面体就这样提供了六个球之间的内插物他接着计算这些球的直径之比，并把它们与观察到的六个行星轨道直径之比进行比较 这个步骤取决于五种正多面体正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体的次序这种次序共有 120
6、种可能的排列开普勒一一试验了它们，发现图 10-7 所示意的次序最接近天文学数据当然，开普勒的这一理论是完全错误的我们今天知道，在六个行星之外还有其它行星，而只有五种规则立体可用于内插但是，按照开普勒自己的看法，他后来发现的著名的开普勒三定律，是受到这早期的努力促进的而大家都知道，开普勒三定律本身是牛顿（Newton，16421727）后来建立近代物理学整个大厦的基础我们还应该强调，尽管图 107 所表现的开普勒的思想是错误的，但是他的探究方法却与当今粒子物理学研究中使用的一种方法完全相似：为了解释物理学中的某些已观察到的规则性，理论物理学家要试图使之与起因于对称观念的数学规则性相匹配如果有几
7、种匹配方式，理论物理学家便一个接一个地试验它们 这种努力通常是失败的但是，有时候会在所使用的对称意义或对称类型中发现新颖的方面，从而取得进步这种偶尔取得的进步有时竟能导致基本物理中意义深远的新概念的进展102 十九世纪：群和晶体学在 19 世纪，一个重要的数学概念逐渐形成，它后来成为数学中最深刻的概念之一这就是群的概念虽然有些数学家早已有群的概念，但在 1830 年，是伽罗瓦（Galois，18111832）以其对五次多项式方程不可解性的出色解决，显示了这一概念的威力因此，人们一般都说伽罗瓦首创了群的概念该概念在 19 世纪后期获得了广泛的发展在 19 世纪 80 年代，索菲斯李（Sophus
8、 Lie，18421899）推广了群的思想，创造了连续群或李群理论群和连续群的概念是对称概念的最好的数学表示在物理学中，晶体学是一个重要的研究领域将晶体分类是很自然的，同一晶类的晶体具有许多相同的力学特性、热特性和电特性晶类与数学的群论的关系并不是显而易见的经过了数十年的发展，才终于在 1890 年左右得出了晶体学家费多洛夫（Fedorov，18531919）以及数学家熊夫利（Schonflies，18531928）和巴洛（Barlow，18451934）的结论：每一个晶类都与一个空间群联系在一起，在三维中恰恰有 230 个不同的空间群因此，存在着 230 个不同的晶类详细描述这一极其漂亮和十
9、分有用的发展要用太多的篇幅不过，我们可以阐明在二维条件下解决同一数学问题的精神图 108（a）表示一个简单的正方形格子，我们想象它向四面无限延展它具有许多对称：如果把图形向右移一个单位，或向上移三个单位，或向下移一个单位接着向左移两个单位等等，该格子依然保持不变这些位移或它们的组合称为格子的对称元素还有其它的对称元素：绕一个角旋转 90或 180等，绕任何正方形的中心旋转 90或 180等，这一切使得格子依然是不变的这些元素也是对称元素人们也能够相对于任一垂直线或任一水平线反演格子，或者相对于两条垂直线之间的任何中线反演格子所有这些元素也都是对称元素此外，如果人们相对于通过许多格子点的 45线
10、反演格子，那么也能得到对称元素这一切对称元素在一起构成一个群，即二维空间群我们说，图10-8（a）属于这个空间群，反之亦然现在，让我们转向图 108 中的格子（b） 这个延展到无穷的格子也具有对称元素事实上，格子（a）的所有不包括反演的对称元素也是格子（b）的对称元素，这一点容易通过检验来证实任何反演不会使格子（b）保持不变，是因为反演总是从字母 d 翻转到字母 b，而 b 在格子（b）中是找不到的因此，反演不是格子（b）的对称元素这样一来，我们证明了格子（b）的空间群不同于而且小于格子（a）的空间群图 10-9 展示了十七个不同的图样，其中每一个我们都想象延展到无穷它们形成象浴室中的马赛克那
11、样的图样每一个图样都有它自己的空间群第三排中心的图样与图 108 的格子（a）具有相同的空间群它的右边的图样与图 10-8 的格子（b）具有相同的空间群容易证实，属于这十七个图样的十七个不同的空间群都是不同的这十七个空间群是二维空间中仅有的空间群，这点是可以证明的，但这个证明并非轻而易举它是早先提到的定理在三维中有 230 个空间群的推广 （在历史上，首先解决的是三维的问题推广到比较容易的二维问题是后来解决的，这显示了这些研究的物理实用起源 ）应用群论分析晶体学中的对称概念，是向物理学家提供抽象数学群概念的雅致和威力的第一个例证另外的例子在 20 世纪接踵而至，它们深刻地影响了基本物理学发展的
12、进程，我们紧接着将略述这一切103 二十世纪：扩大了对称的作用当爱因斯坦（Einstein，18791955）在 1905 年创立狭义相对论时，也为空间和时间在抽象的数学涵义上是对称的这一概念铺设了道路多年之后，1982 年在意大利埃利启（Erice） ，狄拉克（Dirac，19021984）在谈话中问我，什么是爱因斯坦对物理学的最重要的贡献我回答说：“1916 年的广义相对论 ”狄拉克说：“那是重要的，但不象他引入的时空对称的概念那么重要 ”狄拉克的意思是，尽管广义相对论是异常深刻的和有独创性的，但是空间 和时间的对称对以后的发展有更大的影响的确，与人类的原始感受如此抵触的时空对称，今天已与
13、物理学的基本观念紧密地结合在一起了这个对称叫做洛伦兹对称发现这一对称的数学表达的是当时的荷兰物理学大师洛伦兹（Lorentz，18531928） ，而最早了解此对称的真正物理含义的是年青的爱因斯坦与对称有关的另一个重要进展是，在 20 世纪头 20 年中人们逐渐意识到，守恒律与对称有联系当然，从牛顿时代以来，守恒律已是人所共知的了但是，只是在 20 世纪人们才认识到，动量守恒与物理定律的位移不变性（即位移对称性）相关联，角动量守恒与物理定律的转动对称性相关联在 20 世纪初之前的两百年间，守恒律和对称之间的关系未被人们发现其原因何在呢？答案在于下述事实：在古典物理学中，这种关系尽管存在着，但不十分有用当量子力学在 19251927 年间发展时，这种关系的重要性才实际上显露出来在量子力学中，动力学系统的态是用指明态的对称性质的量子数标记的与量子数一起，还出现了选择定则，它支 配着在态之间跃迁时量子数的变化量子数和选择定则是在量子力学之前通过经验发现的，可是它们的意义只是在量子力学发展后借助于对称才变得一目了然（图 1010） 因此，在 1925 年后对称才开始渗入原子物理学的语言中后来，随着物理学家的研究深入到核现象和基本粒子现象，对称也渗入这些物理学新领域的语言中对称在量子物理学中的作用之所以大大扩展，是因为表达量子力学的数学（希耳伯特空间）是线性的由于
