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1、1第二节 单个正态总体的假设检验1.单个正态总体数学期望的假设检验(1) 2 已知关于 的假设检验(Z 检验法(Z-test))设总体 XN( , 2) ,方差 2 已知,检验假设H0: = 0;H 1: 0 ( 0 为已知常数)由N( , ) , N(0,1) ,n/X我们选取Z= (8.2)/作为此假设检验的统计量,显然当假设 H0 为真(即 = 0 正确)时,ZN(0,1) ,所以对于给定的显著性水平 ,可求 z /2 使PZz /2= ,见图 8-1,即PZ- z /2+PZz /2=.从而有PZz /2= /2,PZz /2=1- /2.图 8-1利用概率 1- /2,反查标准正态分
2、布函数表,得双侧 分位点(即临界值)z /2.另一方面,利用样本观察值 x1,x 2,x n计算统计量 Z 的观察值z0= . (8.3)0/S如果:(a)z 0z /2,则在显著性水平 下,拒绝原假设 H0(接受备择假设 H1) ,所以z 0z /2 便是 H0 的拒绝域.(b) z 0z /2,则在显著性水平 下,接受原假设 H0,认为 H0 正确.这里我们是利用 H0 为真时服从 N(0,1)分布的统计量 Z 来确定拒绝域的,这种检验法称为 Z 检验法(或称 U 检验法).例 8.1 中所用的方法就是 Z 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法,现在我们再举一例.例 8.2 根据长期经验
3、和资料的分析,某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布,方差 2=1.21.从该厂产品中随机抽取 6 块,测得抗断强度如下(单位:kgcm -2):32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度为 32.50kgcm-2 是否成立(取 =0.05,并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化)?解 提出假设 H0: = 0=32.50;H 1: 0. 选取统计量2Z= ,0/Xn若 H0 为真,则 ZN(0,1). 对给定的显著性水平 =0.05,求 z /2 使PZz /2= ,这里 z /2=z0.025=1.96. 计算统计量 Z 的观察值:
4、z 0= = 3.05.0/xn31.2.506 判断:由于z 0=3.05z 0.025=1.96,所以在显著性水平 =0.05 下否定 H0,即不能认为这批产品的平均抗断强度是 32.50 kgcm-2.把上面的检验过程加以概括,得到了关于方差已知的正态总体期望值 的检验步骤:(a) 提出待检验的假设 H0: = 0;H 1: 0.(b) 构造统计量 Z,并计算其观察值 z0:Z= ,z 0= ./Xn0/x(c) 对给定的显著性水平 ,根据PZz /2= ,PZz /2= /2,P Zz /2=1- /2查标准正态分布表,得双侧 分位点 z /2.(d) 作出判断:根据 H0 的拒绝域若
5、z 0z /2,则拒绝 H0,接受 H1;若z 0z /2,则接受 H0.(2) 方差 2 未知,检验 (t 检验法(t -test))设总体 XN( , 2) ,方差 2 未知,检验H0: = 0;H 1: 0.由于 2 未知, 便不是统计量,这时我们自然想到用 2 的无偏估计量样/n本方差 S2 代替 2,由于t(n-1) ,/X故选取样本的函数t= (8.4)0/Sn图 8-2作为统计量,当 H0 为真( = 0)时 tt(n-1) ,对给定的检验显著性水平 ,由Ptt /2(n-1)= ,Ptt /2(n-1 )= /2,见图 8-2,直接查 t 分布表,得 t 分布分位点 t /2(
6、n-1 ).3利用样本观察值,计算统计量 t 的观察值t0= ,0/xsn因而原假设 H0 的拒绝域为t 0= t /2(n-1). (8.5)0/xs所以,若t 0t /2(n-1) ,则拒绝 H0,接受 H1;若 t0t /2(n-1 ) ,则接受原假设H0.上述利用 t 统计量得出的检验法称为 t 检验法.在实际中,正态总体的方差常为未知,所以我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的问题.例 8.3 用某仪器间接测量温度,重复 5 次,所得的数据是 1250,1265,1245,1260,1275,而用别的精确办法测得温度为 1277(可看作温度的真值) ,试问此仪器间接测量有无系统
7、偏差?这里假设测量值 X 服从 N( , 2)分布.解 问题是要检验H0: = 0=1277;H 1: 0.由于 2 未知(即仪器的精度不知道) ,我们选取统计量t= .0/XSn当 H0 为真时,tt(n-1) ,t 的观察值为t 0= 3.0125971859/()/4xs对于给定的检验水平 =0.05,由Ptt /2(n-1)= ,Ptt /2(n-1 )= /2,Ptt 0.025(4)=0.025,查 t 分布表得双侧 分位点t /2(n-1)=t 0.025(4)=2.776.因为t 03t 0.025(4)=2.776,故应拒绝 H0,认为该仪器间接测量有系统偏差.(3) 双边检
8、验与单边检验上面讨论的假设检验中,H 0 为 = 0,而备择假设 H1: 0 意思是 可能大于 0,也可能小于 0,称为双边备择假设,而称形如 H0: = 0,H 1: 0 的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大,例如,试验新工艺以提高材料的强度,这时所考虑的总体的均值应该越大越好,如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大,则可考虑采用新工艺.此时,我们需要检验假设H0: = 0;H 1: 0. (8.6)(我们在这里作了不言而喻的假定,即新工艺不可能比旧的更差) ,形如(8.6)的假设检验,称为右边检验,类似地,有时我们需要检验假设H0: = 0;H 1: 0. (8
9、.7)4形如(8.7)的假设检验,称为左边检验,右边检验与左边检验统称为单边检验.下面来讨论单边检验的拒绝域.设总体 XN( , 2) , 2 为已知,x 1,x 2,x n是来自 X 的样本观察值.给定显著性水平 ,我们先求检验问题H0: = 0;H 1: 0.的拒绝域.取检验统计量 Z= ,当 H0 为真时,Z 不应太大,而在 H1 为真时,由于 X 是 0/n的无偏估计,当 偏大时,X 也偏大,从而 Z 往往偏大,因此拒绝域的形式为Z= k,k 待定.0/Xn因为当 H0 为真时, N(0,1) ,由/nP拒绝 H0H 0 为真= P =0/Xkn得 k=z ,故拒绝域为Z= z . (
10、8.8)0/Xn类似地,左边检验问题H0: = 0;H 1: 0.的拒绝域为Z= -z . 8.9)0/Xn例 8.4 从甲地发送一个信号到乙地,设发送的信号值为 ,由于信号传送时有噪声迭加到信号上,这个噪声是随机的,它服从正态分布 N( 0,22) ,从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布 N( , 22)的随机变量.设甲地发送某信号 5 次,乙地收到的信号值为:8.4 10.5 9.1 9.6 9.9由以往经验,信号值为 8,于是乙方猜测甲地发送的信号值为 8,能否接受这种猜测?取 =0.05.解 按题意需检验假设H0: =8;H 1: 8.这是右边检验问题,其拒绝域如(8.8)式所示,即
11、 Z= z 0.05=1.645.0/Xn而现在5z0= =1.681.645,9.582/所以拒绝 H0,认为发出的信号值 8.2.单个正态总体方差的假设检验( 检验法( -test))22(1) 双边检验设总体 XN( , 2) , 未知,检验假设H0: 2= 02;H 1: 2 02.其中 02 为已知常数.由于样本方差 S2 是 2 的无偏估计,当 H0 为真时,比值 一般来说应在 1 附近摆20S动,而不应过分大于 1 或过分小于 1,由第六章知当 H0 为真时= (n-1 ). (8.10)220()S所以对于给定的显著性水平 有(图 8-3)图 8-3P (n-1) (n-1 )
12、=1- . (8.11)21/2/对于给定的 ,查 分布表可求得 分布分位点 (n-1)与 (n-1 ).21/2/由(8.11)知,H 0 的接受域是(n-1) (n-1); (8.12)21/2/H0 的拒绝域为 (n-1)或 (n-1). (8.13)21/22/这种用服从 分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法,称为 检验法. 2例 8.5 某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差 2=5000(小时 2)的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变,现随机抽取 26 只电池,测得其寿命的样本方差 s2=9200(小时 2).问根据这一数据能
13、否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化(取 =0.02)?解 本题要求在 =0.02 下检验假设H0: 2=5000;H 1: 25000.现在 n=26,(n-1)= =44.314,/20.1(5)(n-1)= =11.524,1/2.902=5000.6由(8.13)拒绝域为44.31420(1)ns或11.52420()s由观察值 s2=9200 得 =4644.314,所以拒绝 H0,认为这批电池寿命的波动性较以20(1)ns往有显著的变化.(2) 单边检验(右检验或左检验)设总体 XN( , 2) , 未知,检验假设H0: 2 02;H 1: 2 02.(右检验)由于 XN
14、( , 2) ,故随机变量= (n-1).*22()S当 H0 为真时,统计量= .220(1)nS*对于显著性水平 ,有P (n-1)= *2图 8-4(图 8-4).于是有P (n-1 )P (n-1)= .2*2可见,当 很小时, (n-1 )是小概率事件,在一次的抽样中认为不可能发生,所以 H0 的拒绝域是:= (n-1) (右检验). (8.14)220(1)S类似地,可得左检验假设 H0: 2 02,H 1: 2 02 的拒绝域为 (n-1) (左检验). (8.15)21例 8.6 今进行某项工艺革新,从革新后的产品中抽取 25 个零件,测量其直径,计算得样本方差为 s2=0.00066,