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1、1第二节 单个正态总体的假设检验1.单个正态总体数学期望的假设检验（1） 2 已知关于 的假设检验（Z 检验法(Z-test)）设总体 XN（ ， 2） ，方差 2 已知，检验假设H0： = 0；H 1： 0 ( 0 为已知常数）由N（ ， ） ， N（0，1） ，n/X我们选取Z= （8.2）/作为此假设检验的统计量，显然当假设 H0 为真（即 = 0 正确）时，ZN（0，1） ，所以对于给定的显著性水平 ，可求 z /2 使PZz /2= ，见图 8-1，即PZ- z /2+PZz /2=.从而有PZz /2= /2，PZz /2=1- /2.图 8-1利用概率 1- /2，反查标准正态分
2、布函数表，得双侧 分位点（即临界值）z /2.另一方面，利用样本观察值 x1，x 2，x n计算统计量 Z 的观察值z0= . （8.3）0/S如果：（a）z 0z /2，则在显著性水平 下，拒绝原假设 H0（接受备择假设 H1） ，所以z 0z /2 便是 H0 的拒绝域.（b） z 0z /2，则在显著性水平 下，接受原假设 H0，认为 H0 正确.这里我们是利用 H0 为真时服从 N（0，1）分布的统计量 Z 来确定拒绝域的，这种检验法称为 Z 检验法（或称 U 检验法）.例 8.1 中所用的方法就是 Z 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.例 8.2 根据长期经验
3、和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布，方差 2=1.21.从该厂产品中随机抽取 6 块，测得抗断强度如下（单位：kgcm -2）：32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度为 32.50kgcm-2 是否成立（取 =0.05，并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化）？解 提出假设 H0： = 0=32.50；H 1： 0. 选取统计量2Z= ，0/Xn若 H0 为真，则 ZN（0，1）. 对给定的显著性水平 =0.05，求 z /2 使PZz /2= ，这里 z /2=z0.025=1.96. 计算统计量 Z 的观察值：
4、z 0= = 3.05.0/xn31.2.506 判断：由于z 0=3.05z 0.025=1.96，所以在显著性水平 =0.05 下否定 H0，即不能认为这批产品的平均抗断强度是 32.50 kgcm-2.把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值 的检验步骤：（a） 提出待检验的假设 H0： = 0；H 1： 0.（b） 构造统计量 Z，并计算其观察值 z0：Z= ，z 0= ./Xn0/x（c） 对给定的显著性水平 ，根据PZz /2= ，PZz /2= /2，P Zz /2=1- /2查标准正态分布表，得双侧 分位点 z /2.（d） 作出判断：根据 H0 的拒绝域若
5、z 0z /2，则拒绝 H0，接受 H1；若z 0z /2，则接受 H0.（2） 方差 2 未知，检验 （t 检验法(t -test)）设总体 XN（ ， 2） ，方差 2 未知，检验H0： = 0；H 1： 0.由于 2 未知， 便不是统计量，这时我们自然想到用 2 的无偏估计量样/n本方差 S2 代替 2，由于t（n-1） ，/X故选取样本的函数t= （8.4）0/Sn图 8-2作为统计量，当 H0 为真（ = 0）时 tt（n-1） ，对给定的检验显著性水平 ，由Ptt /2（n-1）= ，Ptt /2（n-1 ）= /2，见图 8-2，直接查 t 分布表，得 t 分布分位点 t /2（
6、n-1 ）.3利用样本观察值，计算统计量 t 的观察值t0= ，0/xsn因而原假设 H0 的拒绝域为t 0= t /2（n-1）. （8.5）0/xs所以，若t 0t /2（n-1） ，则拒绝 H0，接受 H1；若 t0t /2（n-1 ） ，则接受原假设H0.上述利用 t 统计量得出的检验法称为 t 检验法.在实际中，正态总体的方差常为未知，所以我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的问题.例 8.3 用某仪器间接测量温度，重复 5 次，所得的数据是 1250,1265，1245，1260，1275，而用别的精确办法测得温度为 1277(可看作温度的真值） ，试问此仪器间接测量有无系统
7、偏差？这里假设测量值 X 服从 N（ ， 2）分布.解 问题是要检验H0： = 0=1277；H 1： 0.由于 2 未知（即仪器的精度不知道） ，我们选取统计量t= .0/XSn当 H0 为真时，tt（n-1） ，t 的观察值为t 0= 3.0125971859/()/4xs对于给定的检验水平 =0.05，由Ptt /2（n-1）= ，Ptt /2（n-1 ）= /2，Ptt 0.025(4)=0.025，查 t 分布表得双侧 分位点t /2（n-1）=t 0.025(4)=2.776.因为t 03t 0.025(4)=2.776，故应拒绝 H0，认为该仪器间接测量有系统偏差.（3） 双边检
8、验与单边检验上面讨论的假设检验中，H 0 为 = 0，而备择假设 H1： 0 意思是 可能大于 0，也可能小于 0，称为双边备择假设，而称形如 H0： = 0，H 1： 0 的假设检验为双边检验.有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设H0： = 0；H 1： 0. （8.6）（我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差） ，形如（8.6）的假设检验，称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设H0： = 0；H 1： 0. （8
9、.7）4形如（8.7）的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验.下面来讨论单边检验的拒绝域.设总体 XN（ ， 2） ， 2 为已知，x 1，x 2，x n是来自 X 的样本观察值.给定显著性水平 ，我们先求检验问题H0： = 0；H 1： 0.的拒绝域.取检验统计量 Z= ，当 H0 为真时，Z 不应太大，而在 H1 为真时，由于 X 是 0/n的无偏估计，当 偏大时，X 也偏大，从而 Z 往往偏大，因此拒绝域的形式为Z= k，k 待定.0/Xn因为当 H0 为真时， N（0，1） ，由/nP拒绝 H0H 0 为真= P =0/Xkn得 k=z ，故拒绝域为Z= z . （
10、8.8）0/Xn类似地，左边检验问题H0： = 0；H 1： 0.的拒绝域为Z= -z . 8.9）0/Xn例 8.4 从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为 ，由于信号传送时有噪声迭加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布 N（ 0，22） ，从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布 N（ ， 22）的随机变量.设甲地发送某信号 5 次，乙地收到的信号值为：8.4 10.5 9.1 9.6 9.9由以往经验，信号值为 8，于是乙方猜测甲地发送的信号值为 8，能否接受这种猜测？取 =0.05.解 按题意需检验假设H0： =8；H 1： 8.这是右边检验问题，其拒绝域如（8.8）式所示，即
11、 Z= z 0.05=1.645.0/Xn而现在5z0= =1.681.645，9.582/所以拒绝 H0，认为发出的信号值 8.2.单个正态总体方差的假设检验（ 检验法( -test)）22（1） 双边检验设总体 XN（ ， 2） ， 未知，检验假设H0： 2= 02；H 1： 2 02.其中 02 为已知常数.由于样本方差 S2 是 2 的无偏估计，当 H0 为真时，比值 一般来说应在 1 附近摆20S动，而不应过分大于 1 或过分小于 1，由第六章知当 H0 为真时= （n-1 ）. （8.10）220()S所以对于给定的显著性水平 有（图 8-3）图 8-3P （n-1） （n-1 ）
12、=1- . （8.11）21/2/对于给定的 ，查 分布表可求得 分布分位点 （n-1）与 （n-1 ）.21/2/由（8.11）知，H 0 的接受域是(n-1) (n-1)； (8.12)21/2/H0 的拒绝域为 （n-1）或 （n-1）. （8.13）21/22/这种用服从 分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为 检验法. 2例 8.5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差 2=5000（小时 2）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取 26 只电池，测得其寿命的样本方差 s2=9200（小时 2）.问根据这一数据能
13、否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取 =0.02)?解 本题要求在 =0.02 下检验假设H0： 2=5000；H 1： 25000.现在 n=26，（n-1）= =44.314，/20.1(5)(n-1)= =11.524,1/2.902=5000.6由（8.13）拒绝域为44.31420(1)ns或11.52420()s由观察值 s2=9200 得 =4644.314,所以拒绝 H0，认为这批电池寿命的波动性较以20(1)ns往有显著的变化.（2） 单边检验（右检验或左检验）设总体 XN（ ， 2） ， 未知，检验假设H0： 2 02；H 1： 2 02.（右检验）由于 XN
14、（ ， 2） ，故随机变量= （n-1）.*22()S当 H0 为真时，统计量= .220(1)nS*对于显著性水平 ，有P （n-1）= *2图 8-4（图 8-4）.于是有P （n-1 ）P （n-1）= .2*2可见，当 很小时， （n-1 ）是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以 H0 的拒绝域是：= （n-1） （右检验）. （8.14）220(1)S类似地，可得左检验假设 H0： 2 02，H 1： 2 02 的拒绝域为 （n-1） （左检验）. (8.15)21例 8.6 今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取 25 个零件，测量其直径，计算得样本方差为 s2=0.00066，
