抽样分布与总体平均数估计

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1、第六章 抽样分布及总体平均数的推断 一 抽样分布与平均数抽样分布 1 三种不同性质的分布及抽样分布 总体分布 总体内个体数值的频数分布 样本分布 样本内个体数值的频数分布 抽样分布 某一统计量的概率分布 例 将某市600名学生数学竞赛 的分数作为一个总体 600个 考分的频数分布是总体分布 若从中随机抽取40个考分作为样 本 这40个考分的频数分布是样本分布 若对所抽取的40个考 分计算其平均数或标准差 方差 后还回总体中去 再随机抽 40个考分并计算其平均数或标准差 方差 反复抽下去 将 获得一个n 40 的一切可能个样本的平均数或标准差 方差 若将这一切可能个样本的平均数或标准差 方差 分

2、别进 行 频数分布 就形成一个平均数抽样分布或标准差抽样分布 一 抽样分布与平均数抽样分布 2 平均数抽样分布的几个定理 1 从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均数之 平均数等于总体的平均数 2 容量为n 的平均数在抽样分布上的标准差 等于总体 标准差除以n的平方根 3 从服从正态分布的总体中 随机抽取的容量为n的一切 可能样本平均数的分布也呈正态分布 4 若总体不呈正态分布 如果样本容量较大 反映总体 和 的样本平均数的抽样分布 也接近于正态分布 对上述定理的理解 1 反映了平均数抽样分布的形态 2 表达了平均数抽样分布的平均数 标准差与总体平均 数 标准差的关系 3 抽样分布是统计

3、推论的理论依据 4 标准误越小 表明样本统计量与总体参数的值越近 一 抽样分布与平均数抽样分布 3 样本平均数与总体平均数离差的形态 1 总体方差已知 总体正态 样本平均数与总体平均数的离差统 计量呈Z分布 标准正态分布 总体非正态 但满足n 30这一条件 样本平均 数与总体平均数的离差统计量近似Z分布 标准正 态分布 一 抽样分布与平均数抽样分布 3 样本平均数与总体平均数离差的形态 2 总体方差未知 总体正态 样本平均数与总体平均数的离差统 计量呈 t 分布 总体非正态 但满足n 30这一条件 样本平均 数与总体平均数的离差统计量 近似t 分布 t分布 t 分布 t distributio

4、n 是统计分析中应用较多 的一种随机变量函数的分布 是统计学者高赛特 1908年以笔名 Student 发表的论文中推导出来的 一种分布 又叫学生氏分布 这种分布是一种左 右对称 峰态比较高狭 分布形状随样本容量n 1 的变化而变化的一组分布 t分布与 无关 而与n 1有关 t分布的自由度 用df 表示 一般为n 1 即样本容量减1 自由度 degree of freedom 是指任何变量中可以自由变 化的数目 它代表任何变量中可以自由变化的数 目 t分布 t分布 分布特点 平均值为0 以平均值0左右对称的分布左侧t 为负 值 右侧t为正值 变量取值在 之间 当样本容量趋于 时 t 分布为正态

5、 分布 方差为1 当n 1 30以上时 接近正态分布 方差大于1 随n 1的 增大而方差渐趋 于1 当n 130以上 才能根据样本分布对总体平均数 进行估计 否则不能 二 总体平均数的估计 4 总体方差 2未知时 总体平均数 的估计 用样本的无偏方差作为总体方差的估计值 样本 平均数的分布为t分布 应查t值表 包括以下两 种情况 1 总体的分布为正态时 可不管n值大小 2 总体分布为非正态 只有n 30 才能用概率对其样本 分布进行解释 三 假设检验的基本原理 假设与假设检验 1 什么是假设 对总体参数的一种看法 总体参数包括总体均值 比例 方差等 分析之前必需陈述 三 假设检验的基本原理 2

6、 什么是假设检验 1 概念 事先对总体参数或分布形式作出某种假设 然后利用样本 信息来判断原假设是否成立 2 类型 参数假设检验 非参数假设检验 3 特点 采用逻辑上的反证法 依据统计上的小概率原理 三 假设检验的基本原理 假设检验中的小概率 原理 随机事件的概 率表示了随机事件在 一次试验中出现的可 能性大小 若随机事 件的概率很小 例如 小于0 05 0 01 0 001 称之为小概率事件 小概率事件虽然不是不可能事 件 但在一次试验中出现的可 能性很小 不出现的可能性很 大 以至于实际上可以看成是 不可能发生的 在统计学上 把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件 称为小概率

7、事件不可能性原 理 此原理是统计学上进行假 设检验 显著性检验 的基本 依据 三 假设检验的基本原理 3 如何作出统计假设 假设检验背后的基本逻辑是 总存在两个假设 虚无假设 null hypothesis 备择假设 alternative hypothesis 虚无假设 H0 预测总体中自变量 处理 对于因变量不产生 效应 备择假设 H1 预测总体中自变量 处理 对于因变 量产生效应 假设检验的逻辑是假定我们尝试拒绝虚无假设 即我们要尝试证明备 择假设 三 假设检验的基本原理 4 假设检验的步骤 1 作出假设 选择一个决策标准 2 收集一个样本 从总体中随机选取个体 3 计算出检验统计量 如

8、z值 t值 F值等 4 将检验统计量与某个标准比较 以得出有关参数的推 论 然后作出结论 所观察到的差别有多大可能性是因为 取样误差 给出这个概率 如何下结论 三 假设检验的基本原理 5 假设验证的可能结果 实际情况是怎样 H0 正确 H0 错误 研究结论是怎样 H1 正确 H1 错误 这就构成了4种可能性 2 2 2 种错误方式 2 种正确方式 三 假设检验的基本原理 两类错误 两类错误反映的情形不同 它们有不同的名称 错误 type I error 拒绝H0时所犯的错误 即侦察 到不存在的差异 错误 type II error 接受H0 时所犯的错误 即未能 侦察到存在的差异 H H0 0

9、 无罪无罪 假设检验中的两类错误假设检验中的两类错误 决策结果 决策结果 陪审团审判 裁决 实际情况 无罪有罪 无罪正确错误 有罪错误正确 H0 检验 决策 实际情况 H0为真H0为假 接受H01 a 第二类错 误 b 拒绝H0 第一类错 误 a 功效 1 b 假设检验就好像一场审判过程假设检验就好像一场审判过程统计检验过程 统计检验过程 三 假设检验的基本原理 两类错误的关系 不一定等于1 在其他条件不变的情况下 和 不可能 同时减小或增大 统计检验力 1 三 假设检验的基本原理 影响 错误的因素 1 总体参数的真值 随着假设的总体参数的减少而增大 2 显著性水平 当 减少时增大 3 总体标

10、准差 当 增大时增大 4 样本容量 n 当 n 减少时增大 双侧检验与单侧检验 假设的形式 双侧检验 原假设与备择假设的确定 1 双侧检验属于决策中的假设检验 也就是 说 不论是拒绝H0还是接受H0 我们都必 需采取相应的行动措施 2 例如 某种零件的尺寸 要求其平均长度为10 厘米 大于或小于10厘米均属于不合格 3 建立的原假设与备择假设应为 H0 10 H1 10 双侧检验 原假设与备择假设的确定 例1 见教材 某小学毕业生汉语拼音测验平均分数为66分 标准差为11 7分 现已同样的试验测验应届毕业生 假定应届毕业生与历届毕业生条件基 本相同 并从中随机抽取18份试卷 算得平均分为69分

11、 问该校应届与 历届毕业生汉语拼音测验成绩是否一样 步骤 从统计角度陈述问题 66 从统计角度提出相反的问题 66 必需互斥和穷尽 提出原假设 66 提出备择假设 66 有 符号 双侧检验 显著性水平与拒绝域 抽样分布抽样分布 H H0 0 值值 临界值临界值临界值临界值 a 2 a a 2 2 样本统计量样本统计量 拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域 接受域接受域 1 1 置信水平置信水平 单侧检验 原假设与备择假设的确定 检验研究中的假设 1 将所研究的假设作为备择假设H1 2 将认为研究结果是无效的说法或理论作 为原假设H0 或者说 把希望 想要 证明 的假设作为备择假设 3 先确立备择假设H1

12、单侧检验 原假设与备择假设的确定 检验某项声明的有效性 1 将所作出的说明 声明 作为原假设 2 对该说明的质疑作为备择假设 3 先确立原假设H0 除非我们有证据表明 声明 无效 否则就应 认为该 声明 是有效的 单侧检验 原假设与备择假设的确定 例2 见教材 某市高中入学考试平均分数为68分 标准差为8 6 其 中某所中学参加此次考试的46名学生的平均分数为63 过去的资 料表明 该校教学成绩低于全市平均水平 问此次考试该校数学 平均分数是否仍显著低于全市的平均水平 建立的原假设与备择假设应为 H0 68 H1 68 单侧检验 显著性水平与拒绝域 H H0 0 值值 临界值临界值 a a 样

13、本统计量样本统计量 拒绝域拒绝域 接受域接受域 抽样分布抽样分布 1 1 置信水平置信水平 四 总体平均数的显著性检验 检验的步骤 提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 确定适当的检验统计量确定适当的检验统计量 规定显著性水平规定显著性水平 计算检验统计量的值计算检验统计量的值 作出统计决策作出统计决策 什么检验统计量 1 用于假设检验问题的统计量 2 选择统计量的方法与参数估计相同 需考虑 是大样本还是小样本 总体方差已知还是未知 3 检验统计量的基本形式为 公式1 作出统计决策 1 计算检验的统计量 2 根据给定的显著性水平 查表得出相应的临 界值Z 或Z 2 3 将检验统计量的值与

14、水平的临界值进行比较 4 得出接受或拒绝原假设的结论 四 总体平均数的显著性检验 1 已知条件下总体平均数的显著性检验 从正态总体中抽取出的随机样本 并已知总体标准差 无 论样本容量大小 统计量的标准计分公式为公式1 根据实际情 况 确定采用双侧检验还是单侧检验 统计决断规则见分别下 表 见教材例1 例2 四 总体平均数的显著性检验 2 未知条件下总体平均数的显著性检验 小样本的情况 假定从正态分布中抽取的随机样本 总体标准 差未知 样本容量较小 n 30 样本平均数与总体平均数的离差 统计量呈t分布 t 检验统计决断的规则见下表 检验统计量为 四 总体平均数的显著性检验 大样本情况 假定是从正态分布中抽取的随机样本 总体标准 差未知 样本平均数和总体平均数离差统计量呈t分布 但因样 本容量较大 t分布接近于正态 可用正态分布近似处理 Z检验和t检验的选用 一般来说 不管总体方差是否已知 当n大 于30时 均可使用Z检验 而当总体方差未 知 且n小于30时 则需选用t检验 但n只有趋于无穷大时 t分布才等于Z分布 因此 如果总体为正态 且总体方差已 知 无论n为何值 都应该选用Z检验 而 当总体为正态 总体方差未知 无论n为何 值 都应该选用t检验 感谢各位的参与