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1、平行四边形的性质及判定 （典型例题）1平行四边形及其性质例 1 如图，O 是 ABCD 对角线的交点OBC 的周长为59， BD=38，AC=24 ，则 AD=_若OBC 与OAB 的周长之差为 15，则 AB= ABCD 的周长=_.分析：AC，可得 BC，再由平行四边形对边相等知 AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知OBC 与 OAB 的周长之差就为BC 与 AB 之差，可得 AB，进而可得 ABCD 的周长对角线互相平分)OBC 的周长=OBOCEC=1912BC=59BC=28ABCD 中，BC=AD(平行四边形对边相等 )AD=28OBC 的周长-OAB 的周长=(OBOC
2、BC)-(OBOA+AB)=BC-AB=15AB=13 ABCD 的周长=AB BCCDAD=2(ABBC)=2(1328)=82说明：本题条件中的“OBC 占OAB 的周长之差为 15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即 BC 与 AB 之差是15例 2 判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形 ( )(2)平行四边形的两角相等 ( )(3)平行四边形的两条对角线相等 ( )(4)平行四边形的两条对角线互相平分 ( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离 ( )(6)平行四边形的邻角互补 ( )分析：根据平行四边形的定义和性质判断解：(
3、1)错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是两组对边，而不是两条对边如图四边形 ABCD，两条对边 ADBC显然四边形 ABCD 不是平行四边形(2)错平行四边形的性定理 1， “平行四边形的对角相等 ”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)错平行四边形的性质定理 3， “平行四边形的对角线互相平分 ”一般地不相等(矩形的两条对角线相等)(4)对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行
4、，根据平行线的性质可知平行四边形的邻角互补例 3 如图 1，在 ABCD 中，E、F 是 AC 上的两点且AE=CF求证：ED BF分析：欲址 DEBF，只需DEC= AFB,转证=ABFCDF,因 ABCD，则有 AB CD，从而有 BAC=CDA 再由AF=CF 得 AF=CE满足了三角形全等的条件证明：AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在 ABCD 中AB CD(平行四边形的对边平行 )BAC= DCA(两直线平行内错角相等)AB=CD(平行四边形的对边也相等 )ABFCDE(SAS)AFB=DCEED BF(内错角相等两直线平行)说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问
5、题不处理例 4 如图已知在 ABC 中 DEBCFG，若 BD=AF、求证；DE FG=BC分析 1：要证 DEFG=DC 由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质考虑将 DE 平移列 BC 上为此，过 E(或 D)作EH AB(或 DMAC)，得到 DE=BH、只需证 HC=FG，因AF=BD=EH，CEH= A. AGFC 所以 AFGEHC此方法称为截长法分析 2：过 C 点作 CKAB 交 DE 的延长线于 K，只需证FG=EK，转证AFG CKE证法 1：过 E 作 EHAB 交于 HDE BC四边形 DBHE 是平行四边形(平行四边形定义 )DB=EHDE=BH(平行四边形对边也相
6、等 )又 BD=AFAF=EHBC FGAGF=C( 两直线平行同位角相等 )同理 A=CEHAFGEHC(AAS)FG=HCBC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG=BD证法 2：. 过 C 作 CKAB 交 DE 的延长线于 K.DE BC四边形 DBCK 是平行四边形(平行四边形定义 )CK=BD DK=BC(平行四边形对边相等)又 BD=AFAF=CKCK ABA=ECK( 两直线平行内错角相等)BC FGAGF=AED(两直线平行同位角相等)又CEK= AED(对顶角相等)AGF=CEKAFGCKE(AAS)FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例 5 如图 ABCD 中，AB
7、C=3A ，点 E 在 CD 上,CE=1，EF CD 交 CB 延长线于 F，若 AD=1，求 BF 的长分析： 根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得C=F=45进而由勾股定理求出 CF，再根据平行四边形对边相等，得 BF 的长解： 在 ABCD 中，ADBCAABC=180(两直线平行同旁内角互补)ABC=3AA=45，ABC=135C=A=45( 平行四边形的对角相等)EFCDF=45( 直角三角形两锐角互余)EF=CE=1AD=BC=1例 6 如图 1， ABCD 中，对角线 AC 长为10cm，CAB=30 ， AB 长为 6cm，求 ABCD 的面积解： 过点 C 作 CHAB
8、，交 AB 的延长线于点 H(图 2)CAB=30S ABCDABCH65=30(cm2)答： ABCD 的面积为 30cm2说明： 由于 =底 高，题设中已知 AB 的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点 D 的高，故选择过点 C 作高例 7 如图，E 、F 分别在 ABCD 的边 CD、BC 上，且EFBD求证：SACE=SABF分析： 运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形证明：将 EF 向两边延长分别交 AD、AB 的延长线于 G、H.ABCD DEABDEG=BHF( 两直线平行同位角相等)GDE=DAB( 同上)AD BCDAB=
9、 FBH( 同上)GDE=FBHDE BH，DBEH四边形 BHED 是平行四边形DE=BH(平行四边形对边相等 )GDE FBH(ASA)S GDE=SFBH(全等三角形面积相等)GE=FH(全等三角形对应边相等)S ACE=SAFH(等底同高的三角形面积相等)S ADESABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积即S =ahaa 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是 a 边与其对边的距离即对应的高，为了区别，可以把高记成 ha，表明它所对应的底是 a例 8 如图，在 ABCD 中，BE 平分B 交 CD 于点 E，DF平分D 交 AB 于点 F，求证 BF=DE证明：四边形 ABCD
10、 是平行四边形DE FB，ABC=ADC(平行四边形的对边也平行对角相等)1= 3(两直线平行内错角相等)1= 22= 3DF BE(同位角相等两条直线平行)四边形 BEDF 为平行四边形(平行四边形定义)BF=DE(平行四边形的对边相等)说明： 此例也可通过ADFCBE 来证明，但不如上面的方法简捷例 9 如图， CD 的 RtABC 斜边 AB 上的高，AE 平分BAC交 CD 于 E，EFAB，交 BC 于点 F，求证 CE=BF分析 作 EGBC，交 AB 于 G，易得 EG=BF再由基本图，可得 EG=EC，从而得出结论证明：过 E 点作 EGBC 交 AB 于 G 点EGA=BEF
11、ABEG=BFCD 为 RtABC 斜边 AB 上的高BAC B=90 BAC ACD 90B=ACDACD=EGAAE 平分 BAC1= 2又 AE=AEAGE ACE(AAS)CE=EGCE=BF说明：(1)在上述证法中， “平移”起着把条件集中的作用 (2)本题也可以设法平移 AE( 连 F 点作 FGAE ，交 AB 于 G)例 10 如图，已知 ABCD 的周长为32cm，ABBC=5 3，AEBC 于 E，AF DC 于F， EAF=2C，求 AE 和 AF 的长分析：从化简条件开始由 ABCD 的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长EAF=2 C 告诉我们什么？这样，立即可
12、以看出ADF、AEB 都是有一个锐角为 30的直角三角形再由勾股定理求出解： ABCD 的周长为 32cm即 AB+BC+CD+DA=32AB=CD BC=DA(平行四边形的对边相等 )又 ABBC=53EAF+AFC+ C+CEA=360( 四边形内角和等于 360)AE BC AEC=90AFDC AFC=90EAF+C=180EAF=2 CC=60AB CD(平行四边形的对边平行 )ABE= C=60(两直线平行同位角相等 )同理ADF=60说明： 化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始它虽简
13、单，却很有效2平行四边形的判定例 1 填空题(1)如图 1，四边形 ABCD 与四边形 BEFC 都是平行四边形，则四边形 AEFD 是_ ，理由是_(2) 如图 2，D、E 分别在ABC 的边 AB、AC 上，DE=EF，AE=EC ，DE BC 则四边形 ADCF 是_，理由是_，四边形 BCFD 是_，理由是_分析： 判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得 AD平行且等于 BC，BC 平行且等于 EF，从而得 AD 平行且等于EF，由判定定理 4 可得(2)由 AE=EC，DE=EF，由判定定理 3可得四边形 ADCF 是
14、平行四边形，从而得 ADCF 即 BDCF，再由条件，可得四边形 BCFD 是平行四边形解： (1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形说明： 平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法例 2 如图，四边形 ABCD 中，AB=CDADB=CBD=90求证：四边形 ABCD 是平行四边形分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法证法一：AB=CDADB=CBD=90，BD=DBRtABD RtCDBABD= CDB ，A=CABD+ CBD=CDB+ADB即 ABC= CDA 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形) 证法二：ADB= CBD=90，AB=CD、BD=DBRtABD RtCDBABD= CDB AB CD( 内错角相等两直线平行 )四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且
