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1、新高考高考数学（理科）总复习汇编7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验对方向1.(2017全国10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2
2、+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|cos +2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.2.(2016全国5)已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案A解
3、析(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n0,c=,则离心率e=,解得m=2.4.(2016北京13)双曲线=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析四边形OABC是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.=1,即a=b.又|OB|=2,c=2.a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.新题演练提能刷高分1.(2018山东济南一模)已知椭圆C:=1(
4、ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,2a=6,a=3,6c=6,c=1,b2=a2-1=8,椭圆方程为=1,故选B.2.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|
5、=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.3.(2018吉林长春第二次质量监测)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.B.1C.D.答案D解析由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1面积为|F1F2|yA-yB|=23=3=8r,解得r=,故选D.4.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲
6、线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则该双曲线的方程为()A.x2-=1B.x2-y2=1C.x2-=1D.x2-=1答案B解析由点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示.在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos 60=a,|MN|=2asin 60=a,即M(2a,a),代入双曲线方程得4-=1,即b2=a2.点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,a=b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.5.(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2
7、=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.2C.D.答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为,故选D.6.(2018安徽合肥第一次质检)如图,椭圆=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A.20B.10C.2D.4答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,
8、且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2x轴,所以Nc,则H0,.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-,代入椭圆方程得=1,a2=1+4c2,1+4c2=4+c2,c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,F2MN的周长为4a=4.7.(2018江西六校联考)双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案9解析由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2+4a=2+8=9(即当ABx轴时取等号).命题角度2圆
9、锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验对方向1.(2018全国5)双曲线=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x答案A解析e=,+1=3.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,渐近线方程为y=x.2.(2018全国11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3C.2D.4答案B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中
10、,|OM|=2cos 30=,所以|MN|=3.3.(2017全国5)已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.4.(2017天津5)已知双曲线=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=x.点P的坐标
11、为(0,4),直线PF的斜率为k=.由题意得.双曲线的离心率为,.在双曲线中,a2+b2=c2,联立解得a=b=2,c=4.所求双曲线的方程为=1.故选B.5.(2018全国16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案2解析设直线AB:x=my+1,联立y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1
12、)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=.k=2.6.(2016天津6)已知双曲线=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选D.7.(2017全国16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.答案6解析设N(0,a),由题意
13、可知F(2,0).又M为FN的中点,则M.因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=4.所以N(0,4).所以|FN|=6.新题演练提能刷高分1.(2018河南豫南豫北第二次联考)若F(c,0)是椭圆=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()A.c,B.-c,C.(0,b)D.不存在答案C解析由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与F点的距离等于a的点为短轴的两个端点,故选C.2.(2018湖南长沙模拟)椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为
14、()A.=1B.+y2=1C.=1D.=1答案C解析由条件可知b=c=,a=2,所以椭圆方程为=1,故选C.3.(2018湖南长郡中学模拟)已知以原点为中心,实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=x,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案C解析双曲线的一条渐近线方程是y=x,.=6,c=10.c2=a2+b2,a2=64,b2=36,双曲线方程为=1.4.(2018河南中原名校质量考评)已知点P(x1,y1)是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,若F1PF2取最大时,则PF1F2的面积是()A.B.12C.16(2+)D.16(2-)答案B解析椭圆方程为=1,a=5,b=4,c=3,因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,F1PF2取最大值,则此时PF1F2的面积S=234=12,故选
