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1、高考专题突破三高考中的数列问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2017 广州质检 数列 an 是公差不为0的等差数列 且a1 a3 a7为等比数列 bn 中连续的三项 则数列 bn 的公比为 答案 解析 答案 解析 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d a5 5 S5 15 an a1 n 1 d n 3 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知S1 2S2 3S3成等差数列 则等比数列 an 的公比为 答案 解析 4 2015 课标全国 设Sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 SnSn 1 则Sn 答案 解析 答案 解析 4 an 2an 1
2、又a1 1 an 是以 1为首项 以 2为公比的等比数列 an 2 n 1 由1 Sk 9 得4 2 k 28 又k N k 4 题型分类深度剖析 例1 2016 四川 已知数列 an 的首项为1 Sn为数列 an 的前n项和 Sn 1 qSn 1 其中q 0 n N 1 若a2 a3 a2 a3成等差数列 求数列 an 的通项公式 题型一等差数列 等比数列的综合问题 解答 解答 等差数列 等比数列综合问题的解题策略 1 分析已知条件和求解目标 为最终解决问题设置中间问题 例如求和需要先求出通项 求通项需要先求出首项和公差 公比 等 确定解题的顺序 2 注意细节 在等差数列与等比数列综合问题中
3、 如果等比数列的公比不能确定 则要看其是否有等于1的可能 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等 这些细节对解题的影响也是巨大的 思维升华 跟踪训练1已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 解答 设等比数列 an 的公比为q 因为S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 2 设Tn Sn n N 求数列 Tn 的最大项的值与最小项的值 解答 当n为奇数时 Sn随n的增大而减小 当n为偶数时 Sn随n的
4、增大而增大 题型二数列的通项与求和 例2已知数列 an 的前n项和为Sn 在数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 证明 an Sn n an 1 Sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 首项c1 a1 1 又a1 a1 1 又cn an 1 解答 2 求数列 bn 的通项公式 1 一般求数列的通项往往要构造数列 此时要从证的结论出发 这是很重要的解题信息 2 根据数列的特点选择合适的求和方法 常用的有错位相减法 分组求和法 裂项求和法等 思维升华 跟踪
5、训练2已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 an 1 an 1 证明 数列 是等比数列 证明 2 求数列 an 的通项公式与前n项和Sn 解答 题型三数列与其他知识的交汇 解答 命题点1数列与函数的交汇 f x 2ax b 由题意知b 2n 16n2a 4nb 0 又f x x 2n 当n 1时 a1 4也符合 解答 Tn b1 b2 bn 解答 命题点2数列与不等式的交汇 解答 2 求数列 an 的通项公式 证明 k N 4k2 2k 3k2 3k k2 k k k 1 0 4k2 2k 3k2 3k 不等式成立 命题点3数列应用题 例5 2016 长沙模拟 某公司一下属企业从事某种高科
6、技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 解答 由题意 得a1 2000 1 50 d 3000 d 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 解答 整理 得 由题意 得am 4000 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 1 数列与函数的交汇问题 已知函数条件
7、解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 思维升华 2 数列与不等式的交汇问题 函数方法 即构造函数 通过函数的单调性 极值等得出关于正实数的不等式 通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式 放缩方法 数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 比较方法 作差或者作商比较 3 数列应用题 根据题意 确定数列模型
8、 准确求解模型 问题作答 不要忽视问题的实际意义 跟踪训练3设等差数列 an 的公差为d 点 an bn 在函数f x 2x的图象上 n N 1 若a1 2 点 a8 4b7 在函数f x 的图象上 求数列 an 的前n项和Sn 解答 解答 f x 2xln2 f a2 ln2 故函数f x 2x在 a2 b2 处的切线方程为y ln2 x a2 解得a2 2 所以d a2 a1 1 从而an n bn 2n 课时作业 1 2016 北京 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且b2 3 b3 9 a1 b1 a14 b4 1 求 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 设数列 an
9、的公差为d bn 的公比为q bn 的通项公式bn b1qn 1 3n 1 又a1 b1 1 a14 b4 34 1 27 1 14 1 d 27 解得d 2 an 的通项公式an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 n 1 2 3 1 2 3 4 5 解答 2 设cn an bn 求数列 cn 的前n项和 1 2 3 4 5 2 2016 全国甲卷 等差数列 an 中 a3 a4 4 a5 a7 6 1 求 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 2 设bn an 求数列 bn 的前10项和 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 2 6 2 解答 1 2 3 4 5
10、所以数列 bn 的前10项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24 1 2 3 4 5 3 已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn 2an 1 n n N 1 求数列 an 的前三项a1 a2 a3 解答 1 2 3 4 5 2 求证 数列 an 1 n 为等比数列 并求出 an 的通项公式 证明 1 2 3 4 5 由Sn 2an 1 n n N 得Sn 1 2an 1 1 n 1 n 2 两式相减 得an 2an 1 2 1 n n 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 已知正项数列 an 中 a1 1 点 an 1 n N 在函数y x2 1的图象上 数列 bn 的前n项和Sn
11、 2 bn 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 an 1 an 1 数列 an 是公差为1的等差数列 a1 1 an 1 n 1 1 n Sn 2 bn Sn 1 2 bn 1 两式相减 得bn 1 bn 1 bn 由S1 2 b1 即b1 2 b1 得b1 1 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 在等比数列 an 中 an 0 n N 公比q 0 1 且a1a5 2a3a5 a2a8 25 又a3与a5的等比中项为2 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 又an 0 a3 a5 5 又a3与a5的等比中项为2 a3a5 4 而q 0 1 1 2 3 4 5 2 设bn log2an 求数列 bn 的前n项和Sn 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5
